$F(x)$ $=$ $\ln(x + \sqrt{1 + x^{2}})$ 是奇函数还是偶函数？

一、前言

在本文中，荒原之梦网将使用奇函数的定义完成对 $\textcolor{orange}{F(x)}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{\ln(x + \sqrt{1 + x^{2}})}$ 是奇函数还是偶函数的判断。

二、正文

首先，根据奇函数的定义，满足 如 下 公 式 的函数即为 奇 函 数 ：

$$
\textcolor{cyan}{
F(-x) = – F(x)
}
$$

于 是 ：

$$
\textcolor{orange}{F(-x)} = \ln(- x + \sqrt{1 + x^{2}}) \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{red}{
\ln \frac{(- x + \sqrt{1 + x^{2}}) \cdot (x + \sqrt{1 + x^{2}})}{x + \sqrt{1 + x^{2}}}} \Rightarrow
$$

$$
\ln \frac{-x^{2} + 1 + x^{2}}{x + \sqrt{1 + x^{2}}} \Rightarrow
$$

$$
\ln \frac{1}{x + \sqrt{1 + x^{2}}} \Rightarrow
$$

$$
\ln (x + \sqrt{1 + x^{2}})^{-1} \Rightarrow
$$

$$
– \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) = \textcolor{orange}{- F(x)}
$$

综上 可 证 ：

$$
F(-x) = – F(x)
$$

于是可知，函数 $\textcolor{orange}{F(x)}$ $\textcolor{orange}{=}$ $\textcolor{orange}{\ln(x + \sqrt{1 + x^{2}})}$ 是 奇 函 数 。

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