计算不定积分：$\int e^{\int (\frac{1}{y^{2}} – \frac{2}{y}) \mathrm{d} y}$ $\mathrm{d} y$

一、题目

$$
\textcolor{tan}{
\int e^{\int (\frac{1}{y^{2}} – \frac{2}{y}) \mathrm{d} y} \mathrm{d} y} = ?
$$

二、解析

首先：

$$
\textcolor{orange}{
\int (\frac{1}{y^{2}} – \frac{2}{y}) \mathrm{d} y} =
$$

$$
\int \frac{1}{y^{2}} \mathrm{d} y – \int \frac{2}{y} \mathrm{d} y =
$$

$$
\textcolor{orange}{
\frac{-1}{y} – 2 \ln y + C_{1}
}.
$$

其中，$C_{1}$ 为常数——但是，由于接下来还要继续进行积分运算，还有可能产生新的常数，因此，为了简化运算，这里的 $C_{1}$ 并不需要参与到后面的运算过程中，而且，在接下来的计算过程中不考虑 $C_{1}$ 也不会造成计算错误。

Next

于是：

$$
\textcolor{cyan}{
\int e^{\int (\frac{1}{y^{2}} – \frac{2}{y}) \mathrm{d} y} \mathrm{d} y} =
$$

$$
\textcolor{cyan}{
\int e^{(\frac{-1}{y} – 2 \ln y)} \mathrm{d} y
}.
$$

Next

又：

$$
\textcolor{orange}{
e^{(\frac{-1}{y} – 2 \ln y)}}=
$$

$$
\frac{e^{\frac{-1}{y}}}{e^{2 \ln y}} =
$$

$$
\frac{e^{\frac{-1}{y}}}{e^{\ln y^{2}}} =
$$

$$
\frac{e^{\frac{-1}{y}}}{y^{2}} =
$$

$$
\textcolor{orange}{
\frac{1}{y^{2}} \cdot e^{\frac{-1}{y}}
}.
$$

Next

于是：

$$
\textcolor{cyan}{
\int e^{(\frac{-1}{y} – 2 \ln y)} \mathrm{d} y} =
$$

$$
\textcolor{cyan}{
\int \frac{1}{y^{2}} \cdot e^{\frac{-1}{y}} \mathrm{d} y
}.
$$

又：

$$
\textcolor{orange}{
\big( e^{\frac{-1}{y}} \big)_{y}^{\prime} = \frac{1}{y^{2}} e^{\frac{-1}{y}}
}.
$$

Next

于是：

$$
\textcolor{cyan}{
\int \frac{1}{y^{2}} \cdot e^{\frac{-1}{y}} \mathrm{d} y} =
$$

$$
\textcolor{cyan}{
\frac{1}{y^{2}} e^{\frac{-1}{y}} + C_{2}
}.
$$

其中，$C_{2}$ 为任意常数。

Next

综上可知：

$$
\textcolor{tan}{
\int e^{\int (\frac{1}{y^{2}} – \frac{2}{y}) \mathrm{d} y} \mathrm{d} y} =
$$

$$
\textcolor{tan}{
\frac{1}{y^{2}} e^{\frac{-1}{y}} + C_{2}}.
$$

---