用逐步简化的方法记忆泰勒公式（泰勒定理）

一、问题描述

泰勒公式在极限运算、无穷小代换等方面的解题过程中都有着重要的作用，但对泰勒公式的记忆有时候却很麻烦——在本文中，荒原之梦网为大家提供一种通过“逐步简化”的方法来记忆泰勒公式的步骤，以加强我们对于泰勒公式的掌握。

二、解决方案

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处展开的完整版的泰勒公式如下：

$f(x)$ $=$ $f(x_0)$ $+$ $f^{\prime }(x_0)$ $\cdot$ $(x–x_0)$ $+$ $\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}$ $\cdot$ $(x–x_0{)}^2$ $+$ $\cdots$ $+$ $\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$ $\cdot$ $(x–x_0{)}^n$ $+$ $R_n(x)$

Next

于是有：

$$f(x)=\sum _0^n[\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\cdot (x–x_0{)}^n]$$

换成文字方式描述，则有：

$$f(x)=\sum _0^n[\frac{f(x_0)\mathrm{的}n\mathrm{阶}\mathrm{导}}{n\mathrm{的}\mathrm{阶}\mathrm{乘}}\times (x–x_0)\mathrm{的}n\mathrm{次}\mathrm{方}]$$

Next

特别的，当 $x_0$ $=$ $0$ 时，泰勒公式就变成了：

$$f(x)=\sum _0^n[\frac{f(x_0)\mathrm{的}n\mathrm{阶}\mathrm{导}}{n\mathrm{的}\mathrm{阶}\mathrm{乘}}\times x\mathrm{的}n\mathrm{次}\mathrm{方}]$$

$x$ $=$ $0$ 时的泰勒公式也是考研数学和一般情况下的考试中最经常遇到的。

继续简化（当 $x_0$ $=$ $0$ 时）：

$$f(x)=\sum _0^n[\frac{n\mathrm{阶}\mathrm{导}}{n\mathrm{阶}\mathrm{乘}}\times x\mathrm{的}n\mathrm{次}\mathrm{方}]$$

Next

换成文字方式描述，则有（当 $x_0$ $=$ $0$ 时）：

$$f(x)\mathrm{等}\mathrm{于}\Rightarrow \frac{n\mathrm{阶}\mathrm{导}}{n\mathrm{阶}\mathrm{乘}}\times x\mathrm{的}n\mathrm{次}\mathrm{方}$$

其中，$n$ 是从 $0$ 开始计算并求和的。

Tips

• $0$ 的阶乘等于 $1$: $0!$ $=$ $1$
• $1$ 的阶乘等于 $1$: $1!$ $=$ $1$
• 一个常数或者在常数范围内取值的变量的零次方等于 $1$: $(x–x_0{)}^0$ $=$ $1$
• 函数的 $0$ 次导就相当于不进行求导运算，因此：$f^{(0)}(x_0)$ $=$ $f(x_0)$

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