二阶欧拉方程的计算

问题描述

已知,有二阶欧拉方程:

x2y+axy+by=f(x)

计算过程

首先,若 x > 0, 则令:

x=et

即:

t=lnx

于是:

y=

dydx=

dydt×dtdx=

dydt×1x.

进而:

y=

d2ydx2=

(dydt1x)x=

d(dydt)dtdtdx1x+dydt(1x2)=

d(dydt)dt1x1x+dydt(1x2)=

d2ydt21x1x+dydt(1x2)

d2ydx2=(d2ydt2dydt)1x2.

综上:

x2y+axy+by=f(x)

e2t(d2ydt2dydt)1x2+axdydt1x+by=f(x)

e2t(d2ydt2dydt)1e2t+axdydt1x+by=f(x)

(d2ydt2dydt)+adydt+by=f(x)

于是,可得一个以 t 为自变量,y(t) 为末知函数的二阶线性常系数微分方程:

d2y dt2+(a1)dy dt+by=f(et).

接着,通过计算二阶线性常系数微分方程的方法计算出以 t 为自变量的函数 y(t) 后,用 t = lnx 进行反代,即可得出以 x 为自变量的函数 y(x).


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