二阶欧拉方程的计算 问题描述 已知,有二阶欧拉方程: x2y′′+axy′+by=f(x) 计算过程 首先,若 x > 0, 则令: x=et 即: t=lnx 于是: y′= dydx= dydt×dtdx= dydt×1x. 进而: y′′= d2ydx2= (dydt⋅1x)x′= d(dydt)dt⋅dtdx⋅1x+dydt⋅(−1x2)= d(dydt)dt⋅1x⋅1x+dydt⋅(−1x2)= d2ydt2⋅1x⋅1x+dydt⋅(−1x2)⇒ d2ydx2=(d2ydt2–dydt)⋅1x2. 综上: x2y′′+axy′+by=f(x)⇒ e2t(d2ydt2–dydt)⋅1x2+axdydt⋅1x+by=f(x)⇒ e2t(d2ydt2–dydt)⋅1e2t+axdydt⋅1x+by=f(x)⇒ (d2ydt2–dydt)⋅+adydt+by=f(x)⇒ 于是,可得一个以 t 为自变量,y(t) 为末知函数的二阶线性常系数微分方程: d2y dt2+(a−1)dy dt+by=f(et). 接着,通过计算二阶线性常系数微分方程的方法计算出以 t 为自变量的函数 y(t) 后,用 t = lnx 进行反代,即可得出以 x 为自变量的函数 y(x). 相关文章: 2018年考研数二第15题解析:分部积分法、求导 三元隐函数的复合函数求导法则(B012) 极值存在的充分条件:判别公式中的 A, B, C 都是多少?(B013) 形成空间曲线的空间曲面的法向量:基于一般式方程(B013) 定积分的广义分部积分公式(B007) 三元函数求单条件极值:拉格朗日函数的使用(B013) 2018年考研数二第17题解析:摆线、二重积分转二次积分、三角函数 2017年考研数二第20题解析:二重积分、二重积分的化简、直角坐标系转极坐标系 空间区域的质心公式(B007) 空间区域的形心公式(B007) 二元函数求单条件极值:拉格朗日函数的使用(B013) 二阶欧拉方程的构型(B029) 三元复合函数求导法则(B012) 三元空间曲面上某点处的法线方程(B013) 二阶混合偏导与次序无关定理(B012) 变上限积分定义的第二个推论(B007) 2019年考研数二第16题解析:待定系数法计算不定积分 空间曲线的切线方程:基于参数方程(B013) 2017年考研数二第18题解析:导数、函数极值、单调性 函数的幂级数展开:麦克劳林级数(B026) 三元空间曲面上某点处的切平面方程(B013) 空间曲线的切向量:基于参数方程(B013) ∫ uv′ d x 的分部积分公式(02-B006) 变上限积分定义的第一个推论(B007) 2019年考研数二第17题解析:一阶线性微分方程、旋转体的体积