标签： 考研数学公式

问题

下方【指数运算】公式中正确的是哪一个？
[其中，$a>0$, $b>0$, $m$ 和 $n$ 均为有理数.]

选项

[A].   $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

[B].   $a^m\cdot a^n=a^{\frac{n}{m}}$

[C].   $a^m\cdot a^n=a^{\frac{m}{n}}$

[D].   $a^m\cdot a^n=a^{m-n}$

[E].   $a^m\cdot a^n=a^{m\cdot n}$

   答 案   

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$

问题

下方不等式中正确的是哪一个？

选项

[A].   $a^2+b^2⩽(a+b{)}^2$

[B].   $a^2+b^2>(a+b{)}^2$

[C].   $a^2+b^2<(a+b{)}^2$

[D].   $a^2+b^2⩾(a+b{)}^2$

   答 案   

$a^2+b^2⩽(a+b{)}^2$

问题

下方不等式中正确的是哪一个？

选项

[A].   $-|a|>a>|a|$

[B].   $-|a|<a<|a|$

[C].   $-|a|⩾a⩾|a|$

[D].   $-|a|⩽a⩽|a|$

   答 案   

$-|a|⩽a⩽|a|$

问题

下方不等式中正确的是哪一个？

选项

[A].   $|a–b|<||a|–|b||$

[B].   $|a–b|>||a|–|b||$

[C].   $|a–b|⩽||a|–|b||$

[D].   $|a–b|⩾||a|–|b||$

   答 案   

$|a–b|⩾||a|–|b||$

问题

下方不等式中正确的是哪一个？

选项

[A].   $|a-b|>|a|+|b|$

[B].   $|a-b|⩾|a|+|b|$

[C].   $|a-b|⩽|a|+|b|$

[D].   $|a-b|<|a|+|b|$

   答 案   

$|a-b|⩽|a|+|b|$

问题

下方不等式中正确的是哪一个？

选项

[A].   $|a+b|<|a|+|b|$

[B].   $|a+b|>|a|+|b|$

[C].   $|a+b|⩾|a|+|b|$

[D].   $|a+b|⩽|a|+|b|$

   答 案   

$|a+b|⩽|a|+|b|$

问题

若 $a⩾0$, $b⩾0$, 则：

选项

[A].   $a^2+b^2⩾2ab$, $\frac{a+b}{2}⩾\sqrt{ab}$

[B].   $a^2+b^2>2ab$, $\frac{a+b}{2}>\sqrt{ab}$

[C].   $a^2+b^2<2ab$, $\frac{a+b}{2}<\sqrt{ab}$

[D].   $a^2+b^2⩽2ab$, $\frac{a+b}{2}⩽\sqrt{ab}$

   答 案   

$a^2+b^2⩾2ab$, $\frac{a+b}{2}⩾\sqrt{ab}$

问题

设 $a>b>0$, $n$ 为正整数,则：

选项

[A].   $\sqrt[n]{a}⩾\sqrt[n]{b}$

[B].   $\sqrt[n]{a}=\sqrt[n]{b}$

[C].   $\sqrt[n]{a}<\sqrt[n]{b}$

[D].   $\sqrt[n]{a}>\sqrt[n]{b}$

[E].   $\sqrt[n]{a}⩽\sqrt[n]{b}$

   答 案   

$\sqrt[n]{a}>\sqrt[n]{b}$

问题

设 $a>b>0$, $n>0$, 则：

选项

[A].   $a^n>b^n$

[B].   $a\cdot n<b\cdot n$

[C].   $a\cdot n>b\cdot n$

[D].   $a^n<b^n$

   答 案   

$a^n>b^n$

一、题目

设 $a_1$ $=$ $\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ c_1\end{array}\right]$, $a_2$ $=$ $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ c_2\end{array}\right]$, $a_3$ $=$ $\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ c_3\end{array}\right]$, $a_4$ $=$ $\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ c_4\end{array}\right]$, 其中 $c_1$, $c_2$, $c_3$, $c_4$ 为任意常数，则下列向量组线性相关的为 ( )

( A ) $a_1,a_2,a_3.$

( B ) $a_1,a_2,a_4.$

( C ) $a_1,a_3,a_4.$

( D ) $a_2,a_3,a_4.$

二、解析

解答本题需要关于“线性相关”的知识。在向量组 $a_1,a_2,\dots a_n$ 线性相关的结论中，有这样一个结论：

$n$ 个 $n$ 维向量 $a_1,a_2$, $\dots$ $a_n$ 线性相关 $\iff$ 行列式 $|a_1,a_2,\dots ,a_n|=0.$

上面的结论中提到了 “$n$ 维向量”, 其实 “$n$ 维向量” 是两种向量的合称，第一种叫 “$n$ 维列向量”，即 $n$ 行 $1$ 列，形如：

$a=\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ ⋮\\ a_n\end{array}\right].$
第二种叫 “$n$ 维行向量”，即 $1$ 行 $n$ 列，形如：

$b=\left[\begin{array}{c}{b}_1,b_2,\dots ,b_n\end{array}\right].$
观察可知，题目中给出的是 $3$ 维列向量，选项中给出的向量的排布组合方式是横向的，因此组合形成的是 $3$ 行 $3$ 列的向量组，符合使用上述有关结论的条件。

此外，为了方便计算，这里还需要介绍一种计算行列式数值的简便方法，如下：
只要主对角线的两侧有任一侧有用 $0$ 填充的三角形就可以用下面的公式计算：

$\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& 0& 0\\ 0& {\lambda }_2& 0\\ 0& 0& {\lambda }_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& \star & \star \\ 0& {\lambda }_2& \star \\ 0& 0& {\lambda }_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& 0& 0\\ \star & {\lambda }_2& 0\\ \star & \star & {\lambda }_3\end{array}\right]={\lambda }_1\times {\lambda }_2\times {\lambda }_3.$

注：上述公式中 $\star$ 所在的区域表示该区域不是全部由 $0$ 填充。

只要副对角线的两侧有任一侧有用 0 填充的三角形就可以用下面的公式计算：

$\left[\begin{array}{ccc}0& 0& {\lambda }_1\\ 0& {\lambda }_2& 0\\ {\lambda }_3& 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}\star & \star & {\lambda }_1\\ \star & {\lambda }_2& 0\\ {\lambda }_3& 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& {\lambda }_1\\ 0& {\lambda }_2& \star \\ {\lambda }_3& \star & \star \end{array}\right]=(-1{)}^{\frac{n(n-1)}{2}}\times {\lambda }_1\times {\lambda }_2\times {\lambda }_3.$

注：上述公式中 $\star$ 所在的区域表示该区域不是全部由 $0$ 填充。

下面开始逐个选项进行计算并判断相关性。

A 项：

$\left|\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& -1\\ c_1& c_2& c_3\end{array}\right|=(-1{)}^{\frac{3\times 2}{2}}\times 1\times 1\times c_1=-c_1.$

当 $-c_1\ne 0$ 时，$a_1,a_2,a_3$ 的线性相关不成立。

B 项：

$\left|\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ 0& 1& 1\\ c_1& c_2& c_4\end{array}\right|=(-1{)}^{\frac{3\times 2}{2}}\times (-1)\times 1\times c_1=c_1.$
当 $c_1\ne 0$ 时，$a_1,a_2,a_4$ 的线性相关不成立。

C 项：

$\left|\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ 0& -1& 1\\ c_1& c_3& c_4\end{array}\right|=c_1-c_1=0,\mathrm{恒}\mathrm{成}\mathrm{立}.$

$a_1,a_3,a_4$ 的线性相关性恒成立。

D 项：

$\left|\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ 1& -1& 1\\ c_2& c_3& c_4\end{array}\right|=c_2-c_3-c_2-c_4=-c_3-c_4.$

当 $-c_3-c_4\ne 0$ 时，$a_2,a_3,a_4$ 的线性相关不成立。

综上可知，本题的正确选项是：C

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