一、题目
$$
I = \int \frac{\sin ^{2} x}{\left( x \cos x – \sin x \right) ^{2}} \mathrm{~d} x
$$
难度评级：
继续阅读“殊途同归：用两种不同的分部积分方法计算同一道题”殊途同归：用两种不同的分部积分方法计算同一道题
一、题目
标签： 高等数学练习题
对题目的总结可以通过举例的方式记忆
一、题目
已知，$A$, $B$ 为 $n$ 阶方阵，且满足 $A B$ $=$ $O$, 则下列选项正确的是哪个？
(A) $A=O$ 或 $B=O$
(B ) $|A| = 0$ 或 $|B| = 0$
(C) $A + B = O$
(D) $|A| + |B| = 0$
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继续阅读“对题目的总结可以通过举例的方式记忆”平方降幂法：增加了项数，但项数多比次幂高更好算
一、题目
$$
I = \int _{ 0 } ^ { + \infty } \frac { 1 + x ^ { 2 } } { 1 + x ^ { 4 } } \mathrm { ~ d } x = ?
$$
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继续阅读“平方降幂法：增加了项数，但项数多比次幂高更好算”若被积函数只含 e^x 还能拯救一下，但如果还有三角函数，那只能先整体代换
一、题目
$$
I = \int \frac { \arctan \mathrm { e } ^ { x } } { \mathrm { e } ^ { 2 x } } \mathrm { ~ d } x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“若被积函数只含 e^x 还能拯救一下，但如果还有三角函数，那只能先整体代换”为什么这道定积分题目要先拆分积分区间呢？因为含有 e^x
一、题目
$$
I = \int _ { – 1 } ^ { 1 } x \ln \left( 1 + \mathrm { e } ^ { x } \right) \mathrm { ~d } x = ?
$$
难度评级：
继续阅读“为什么这道定积分题目要先拆分积分区间呢？因为含有 e^x”这道题本来要考察泰勒定理与极限的保号性，但其实我们画几幅图就可以解出来
一、题目
已知 $f ^{\prime} (a)$ $=$ $f ^{\prime \prime} (a)$ $=$ $0$, 且 $f ^{\prime \prime \prime} (a)$ $>$ $0$, 则下列结论中，正确的是哪个？
[A]. $(a, f(a))$ 是曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 的拐点
[B]. $f(a)$ 是 $f(x)$ 的极小值
[C]. $f(a)$ 是 $f(x)$ 的极大值
[D]. $f ^{\prime} (a)$ 是 $f ^{\prime} (x)$ 的极大值
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继续阅读“这道题本来要考察泰勒定理与极限的保号性，但其实我们画几幅图就可以解出来”趋同和去分母是积分运算中常用的解题思路
微分的经典物理应用：底部匀速滑动的梯子问题
一、题目
已知有一个长度为 $10$ 米的梯子斜靠在垂直于地面的墙壁上，在 $t = 0$ 的时刻，这个梯子的最底端开始沿着水平的地面以 $2$ 米每秒的速度匀速向远离墙面的方向滑动，则在哪个时刻，该梯子最顶端沿着墙面方向下滑的速度也达到 $2$ 米每秒？
难度评级：
继续阅读“微分的经典物理应用：底部匀速滑动的梯子问题”分子越复杂越好算，分母越复杂越难算：在分母中构造分式，可以将分母中的内容往分子中转移
一、题目
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I = \int \frac { \mathrm { d } x } { 1 + \sin x + \cos x } = ?
$$
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继续阅读“分子越复杂越好算，分母越复杂越难算：在分母中构造分式，可以将分母中的内容往分子中转移”怎么判断要寻找逆矩阵呢？
一、题目
已知 $\boldsymbol { A }$, $\boldsymbol { B }$ 和 $\boldsymbol { C }$ 均为 $n$ 阶矩阵，$\boldsymbol { E }$ 为 $n$ 阶单位矩阵，若 $\boldsymbol { B }$ $=$ $\boldsymbol { E }$ $+$ $\boldsymbol { A } \boldsymbol { B }$, $\boldsymbol { C }$ $=$ $\boldsymbol { A }$ $+$ $\boldsymbol { C A }$, 则：
$$
\boldsymbol { B } – \boldsymbol { C } = ?
$$
(A) $- \boldsymbol { E }$
(B) $\boldsymbol { E }$
(C) $\boldsymbol { A }$
(D) $- \boldsymbol { A }$
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继续阅读“怎么判断要寻找逆矩阵呢？”对于抽象矩阵逆矩阵的求解，一定要想方设法引入“矩阵乘法”
一、题目
已知 $\boldsymbol { A }$, $\boldsymbol { B }$, $\boldsymbol { A }$ $+$ $\boldsymbol { B }$, $\boldsymbol { A } ^ { – 1 }$ $+$ $\boldsymbol { B } ^ { – 1 }$ 均为 $n$ 阶可逆矩阵，则下面的逆矩阵等于多少：
$$
\left( \boldsymbol { A } ^ { – 1 } + \boldsymbol { B } ^ { – 1 } \right) ^ { – 1 }
$$
(A) $\boldsymbol { A } ^ { – 1 }$ $+$ $\boldsymbol { B } ^ { – 1 }$
(B) $\boldsymbol { A } ( \boldsymbol { A }$ $+$ $\boldsymbol { B } ) ^ { – 1 } \boldsymbol { B }$
(C) $\boldsymbol { A }$ $+$ $\boldsymbol { B }$
(D) $( \boldsymbol { A } + \boldsymbol { B } ) ^ { – 1 }$
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继续阅读“对于抽象矩阵逆矩阵的求解，一定要想方设法引入“矩阵乘法””由于积分上限不一定大于积分下限，所以变限积分也要考虑正负性
一、题目
已知，函数 $f ( x )$ 与 $g ( x )$ 在区间 $( – \infty , + \infty )$ 上都是可导函数，且 $f ( x )$ $<$ $g ( x )$, 则下面说法一定正确的是哪个？
(A) $f ( – x )$ $>$ $g ( – x )$
(B) $f ^ { \prime } ( x )$ $<$ $g ^ { \prime } ( x )$
(C) $\int _ { 0 } ^ { x } f ( t ) \mathrm { d } t$ $<$ $\int _ { 0 } ^ { x } g ( t ) \mathrm { d } t$
(D) $\lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } f ( x )$ $<$ $\lim _ { x \rightarrow x _ { 0 } } g ( x )$
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继续阅读“由于积分上限不一定大于积分下限，所以变限积分也要考虑正负性”对复杂的反常积分敛散性的判别，可以适当的画一个思路图
一、题目
如果要使积分 $I$ $=$ $\int _{ 0 } ^ { + \infty } \frac { \ln ( 1 + x ) } { x ^ { p } }$ $\mathrm { ~ d } x$ 收敛，则 $p$ 需要满足以下哪个条件？
(A). $1$ $<$ $p$ $<$ $2$
(C). $p$ $\leqslant$ $0$
(B). $1$ $\leqslant$ $p$ $\leqslant 2$
(D). $p$ $<$ $-1$
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继续阅读“对复杂的反常积分敛散性的判别，可以适当的画一个思路图”趋于“零”就要考虑趋于“零负”和趋于“零正”两种情况
一、题目
下面式子的极限存在吗？如果极限存在，则极限等于多少？
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I = \lim _{ x \rightarrow 0 } \frac { x } { \sqrt { 1 – \cos ( a x ) } }
$$
其中，$0$ $<$ $| a |$ $<$ $\pi$
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继续阅读“趋于“零”就要考虑趋于“零负”和趋于“零正”两种情况”趋于“无穷大”就要考虑趋于“负无穷大”和趋于“正无穷大”两种情况
一、题目
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I = \lim _ { x \rightarrow \infty } \frac { \sqrt [ 3 ] { 2 x ^ { 3 } + 3 } } { \sqrt { 3 x ^ { 2 } – 2 } } = ?
$$
难度评级：
继续阅读“趋于“无穷大”就要考虑趋于“负无穷大”和趋于“正无穷大”两种情况”