标签： 高等数学练习题

一、题目

已知 $f(x)=x^{100}{\mathrm{e}}^{x^2}$, 则 $f^{(200)}(0)=?$

难度评级：

继续阅读“你知道怎么使用泰勒公式求解高阶导数吗”

一、题目

函数 $f(x)=\frac{|\sin x|}{x^2-\pi x}{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x-1}}$ 有多少个第二类间断点？

难度评级：

继续阅读“寻找第二类可去间断点的重点步骤是找出所有可能的间断点并对这些点左右两侧的极限分别进行计算”

一、题目

已知，函数 $f(x)$ $=$ $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2+nx(1-x){\sin }^2\pi x}{1+n{\sin }^2\pi x}$, 则 $f(x)$ 的间断点是（）

难度评级：

继续阅读“间断点不一定是不存在的点：间断点也可能是存在的，比如跳跃间断点”

一、题目

当 $x\to 0$ 时，下列无穷小与 $x^3$ 为同阶无穷小的是哪一个？

(A) $x^3+x^2$.

(B) $\frac{1-\cos x}{x}$.

(C) ${\int }_0^{\ln (1+x)}({\mathrm{e}}^{t^2}-1)\mathrm{d}t$.

(D) $(1+\sin x{)}^{\ln (1+x)}-1$.

难度评级：

继续阅读“同阶无穷小：次幂相等，系数可以不相等”

一、题目

已知 $0<\alpha <\beta$, 则 $\frac{(n+1{)}^{\alpha }-n^{\alpha }}{n^{\beta }}$ 当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时是 $\frac{1}{n}$ 的（）阶无穷小？

难度评级：

继续阅读“当变量趋于无穷大时，我们可以尝试提取出式子中共同的部分（抽离无穷大），或许就可以得到无穷小量”

一、题目

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+\sin x}{x}=?$$

难度评级：

继续阅读“有界震荡无极限在特定情况下可以被视作常数处理”

一、题目

已知 $a\ne n\pi (n$ 为整数), 则 $\underset{x\to a}{lim}{\left(\frac{\sin x}{\sin a}\right)}^{\frac{a}{\sin x-\sin a}}=?$

难度评级：

继续阅读“一定要看清楚哦：这道题的变量不是趋于零的”

一、题目

若 $I=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{{\mathrm{e}}^{x^2}-a}(\cos x-b)=A$, 则，$a=?$, $b=?$, $A=?$

难度评级：

继续阅读“如果分式的极限存在，则一定是“0/0”型或者“无穷/无穷”型”

一、题目

已知函数 $f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^{n+2}}{\sqrt{2^{2n}+x^{2n}}}$, 则函数 $f(x)$ 在其定义域内有无间断点？如果有间断点，是什么类型的间断点？

难度评级：

继续阅读“极限型函数求间断点：先求出具体表达式”

一、题目

已知 $f(x)$ 对任意 $x$ 均满足 $f(1+x)=af(x)$, 且 $f^{\prime }(0)=b$, 其中 $a$ 与 $b$ 都是常数，则 $f(x)$ 在 $x=1$ 处是否可导？

难度评级：

继续阅读“只要没说处处可导就只能用一点处导数的定义”

一、题目

$$\underset{x\to 0}{lim}{\left(\frac{1+\tan x}{1+\sin x}\right)}^{\frac{1}{x^3}}=?$$

难度评级：

继续阅读“十八般武艺齐上阵：一道不是很简单的极限题”

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $x=a$ 处二阶导数存在，则：

$$I=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f^{\prime }(a)}{h}=?$$

难度评级：

继续阅读“洛必达法则不是什么时候都能用，但泰勒公式任何时候都能用”

一、题目

已知 $f(x)=\{\begin{array}{cc}{x}^2,& x⩽0,\\ x^a\sin \frac{1}{x},& x>0,\end{array}$ 若 $f(x)$ 可导，则 $\alpha$ 应满足什么条件？若 $f^{\prime }(x)$ 连续，则 $\alpha$ 应满足什么条件？

难度评级：

继续阅读“可导必连续：连续不一定可导，不连续一定不可导”

一、题目

已知 $f(x)=\{\begin{array}{cl}\frac{\ln (1+bx)}{x},& x\ne 0\\ -1,& x=0,\end{array}$ 其中 $b$ 为某常数，$f(x)$ 在定义域上处处可导，则 $f^{\prime }(x)=?$

难度评级：

继续阅读“解这道题需要注意两点：可导必连续、一点处的导数要用定义求解”

一、题目

已知 $f(x)=\{\begin{array}{cl}\arctan x,& x⩽1\\ \frac{1}{2}({\mathrm{e}}^{x^2-1}-x)+\frac{\pi }{4},& x>1,\end{array}$, 则 $f^{\prime }(x)=?$

难度评级：

继续阅读“你会处理分段函数分段点处的导数吗？”