高等数学归档 - 第7页共122页 - 荒原之梦

a+b 的平方到底该怎么展开？

一、前言

「荒原之梦考研数学」的这篇文章的标题看上去很“无聊”，因为现在正在看这篇文章的同学，几乎不会有人不知道怎么展开 $(a + b)^{2}$ .

那么，这篇文章的目的是什么呢？

其实，这篇文章只是想表达：

在考研数学的学习中，我们只要能保证遵守最基本的定理逻辑，在定理形式的理解和表达上，就可以自己怎么喜欢怎么来，怎么方便怎么来。

这道题你去几次根号可以解出来？

一、题目

荒原之梦考研数学

$\begin{aligned} I = \\ \int \frac{\ln x}{\sqrt{x^{3} (1 - x)}} d x \\ = ? \end{aligned}$

难度评级：

tan(arccos x) 等于多少？

一、结论

首先给出结论：

$\tan (\arccos x) = \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}$

接下来「荒原之梦考研数学 – zhaokaifeng.com」网将给出对上述结论的详细证明。

荒原之梦考研数学 | 图片信息：pixabay.com-8330104

关于 $\cos (\arcsin x)$ 和 $\sin (\arccos x)$ 的值，可以查看荒原之梦考研数学的这篇文章。
关于 $\tan (\arcsin x)$ 的值，可以查看荒原之梦考研数学的这篇文章。

tan(arcsin x) 等于多少？

一、结论

首先是本文的结论：

$\tan (\arcsin x) = \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

接下来，「荒原之梦考研数学 | zhaokaifeng.com」将给出有关上面这个结论的详细证明过程。

荒原之梦考研数学 | 图片信息：pixabay.com-8330104

关于 $\cos (\arcsin x)$ 和 $\sin (\arccos x)$ 的值，可以查看荒原之梦考研数学的这篇文章。
关于 $\tan (\arccos x)$ 的值，可以查看荒原之梦考研数学的这篇文章。

在计算的时候尽可能将除法转换为乘法：乘法比除法更方便计算

一、题目

荒原之梦考研数学

已知，当 $x \to 0$ 时， $\frac{\cos x - 1}{1 - \sin x}$ $=$ $a x$ $+$ $b x^{2}$ $+$ $c x^{3}$ $+$ $o (x^{3})$ , 则：

${\begin{cases} a = ? \\ b = ? \\ c = ? \end{cases}$

难度评级：

矩阵乘法的次幂是不能放到括号里面的：即便他们相乘得单位矩阵

一、题目

荒原之梦考研数学

已知， $A$ 和 $B$ 为 $n$ 阶方阵，且：

$(A B)^{2} = E$

则下列结论中，一定正确为（）

① $B A B$ $=$ $A^{- 1}$

② $A B A$ $=$ $B^{- 1}$

③ $(B A)^{2}$ $=$ $E$

④ $A^{2} B^{2}$ $=$ $E$

难度评级：

积分式子中相似的部分越多越容易计算，但有时候需要我们拨开“云雾”

一、题目

荒原之梦考研数学

$\begin{aligned} I & = \\ \int_{1}^{+ \infty} \frac{1}{e^{x + 3} + e^{5 - x}} d x \\ = ? \end{aligned}$

难度评级：

这道题为啥要设 t=3x 而不是 t=2x ?

一、题目

荒原之梦考研数学

若 $f (x)$ $+$ $\sin^{6} x$ $=$ $\int_{0}^{\frac{π}{6}} f (3 x) d x$ , 则：

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x = ?$

难度评级：

2022考研数二第04题解析：二元偏导数、变上限积分求导

一、题目

荒原之梦考研数学

设函数 $f (t)$ 连续，令 $F (x, y)$ $=$ $\int_{0}^{x - y} (x - y - t) f (t) d t$ , 则（）

A. $\frac{\partial F}{\partial x}$ $=$ $\frac{\partial F}{\partial y}$ , $\frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}}$ $=$ $\frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}}$

B. $\frac{\partial F}{\partial x}$ $=$ $\frac{\partial F}{\partial y}$ , $\frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}}$ $=$ $- \frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}}$

C. $\frac{\partial F}{\partial x}$ $=$ $- \frac{\partial F}{\partial y}$ , $\frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}}$ $=$ $\frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}}$

D. $\frac{\partial F}{\partial x}$ $=$ $- \frac{\partial F}{\partial y}$ , $\frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}}$ $=$ $- \frac{\partial^{2} F}{\partial y^{2}}$

难度评级：

2022考研数二第03题解析：邻域内函数单调性与凹凸性的判断

一、题目

荒原之梦考研数学

设函数 $f (x)$ 在 $x$ $=$ $x_{0}$ 处有 $2$ 阶导数，则：

[A]. 当 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内单调增加时， $f^{'} (x_{0})$ $>$ $0$

[B]. 当 $f^{'} (x_{0})$ $>$ $0$ 时， $f (x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内单调增加

[C]. 当 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内是凹函数时， $f^{''} (x_{0})$ $>$ $0$

[D]. 当 $f^{''} (x_{0})$ $>$ $0$ , $f (x)$ 在 $x_{0}$ 的某邻域内是凹函数

难度评级：

2022考研数二第02题解析：更改积分次序、定积分中的变量替换

一、题目

荒原之梦考研数学

$\int_{0}^{2} d y \int_{y}^{2} \frac{y}{\sqrt{1 + x^{3}}} d x = ?$

A. $\frac{\sqrt{2}}{6}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$

D. $\frac{2}{3}$

难度评级：

2022考研数二第01题解析：等价无穷小相减会产生更高阶的无穷小，反之也成立

一、题目

荒原之梦考研数学

当 $x \to 0$ 时， $α (x)$ , $β (x)$ 是非零无穷小量，给出以下四个命题：

① 若 $α (x)$ $\sim$ $β (x)$ , 则 $α^{2} (x)$ $\sim$ $β^{2} (x)$ ;

② 若 $α^{2} (x)$ $\sim$ $β^{2} (x)$ , 则 $α (x)$ $\sim$ $β (x)$ ;

③ 若 $α (x) \sim β (x)$ , 则 $α (x)$ $-$ $β (x)$ $=$ $o (α (x))$ ;

④ 若 $α (x) - β (x)$ $=$ $o (α (x))$ , 则 $α (x)$ $\sim$ $β (x)$ .

其中所有真命题的序号是（）

(A) ① ③

(B) ① ④

(C) ① ③ ④

(D) ② ③ ④

难度评级：

积分一定能改变函数的奇偶性吗？

一、题目

荒原之梦考研数学

已知 $f (x)$ 是连续函数， $F (x)$ 是 $f (x)$ 的原函数，则以下说法中正确的是哪个？

[A]. 若 $f (x)$ 是偶函数，则 $F (x)$ 必是奇函数

[B]. 若 $f (x)$ 是奇函数，则 $F (x)$ 必是偶函数

[C]. 若 $f (x)$ 是周期函数，则 $F (x)$ 必是周期函数

[D]. 若 $f (x)$ 是单调增函数，则 $F (x)$ 必是单调增函数

难度评级：

有界一定不发散，但有界不一定收敛

一、题目

荒原之梦考研数学

设数列 ${x_{n}}$ 与 ${y_{n}}$ 满足 $lim_{n \to \infty} {x_{n} y_{n}}$ $=$ $0$ , 则下列说法正确的是哪个？

(A) 若 ${x_{n}}$ 发散，则 ${y_{n}}$ 必发散

(B) 若 $\frac{1}{x_{n}}$ 为无穷小量，则 $y_{n}$ 必为无穷小量

(C) 若 ${x_{n}}$ 有界，则 $y_{n}$ 必为无穷小量

(D) 若 ${x_{n}}$ 无界，则 ${y_{n}}$ 必有界

难度评级：

图示：数列的有界、发散与收敛间的区别与联系

一、前言

在本文中，荒原之梦考研数学将通过图示的方式，给大家阐述清楚数列的有界、发散、收敛这三个概念之间的异同点，方便大家在其他辅导资料中常见的定义和举特例的方式之外，用更加形象的方式理解这三者之间的区别。

Tip

在本的示意图中：
[1]. 横坐标表示数列的项数 $n$ , 从左向右依次增大；
[2]. 纵坐标表示数列的值 ${x_{n}}$ , 从下到上依次增大；
[3]. 同一个坐标系中不同颜色的点对应的项数 $n$ 不相等，但都属于同一个数列 ${x_{n}}$
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