题目
设 $3$ 阶矩阵 $A = (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})$ 有 $3$ 个不同的特征值，且 $\alpha_{3} = \alpha_{1} + 2 \alpha_{2}$.
$(Ⅰ)$ 证明 $r(A) = 2$;
$(Ⅱ)$ 若 $\beta = \alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3}$, 求方程组 $Ax = \beta$ 的通解.
解析
第 $(Ⅰ)$ 问
由于 $\alpha_{3} = \alpha_{1} + 2 \alpha_{2}$, 因此，$\alpha_{1}$, $\alpha_{2}$ 和 $\alpha_{3}$ 是线性相关的，于是：
$$
r(A) < 3 \Rightarrow r(A) \leqslant 2.
$$
又由于矩阵 $A$ 有 $3$ 个不同的特征值，那么，矩阵 $A$ 可以相似对角化，且矩阵 $A$ 至多只能有一个为零的特征值，于是：
$$
r(A) \geqslant 2.
$$
综上：
$$
\left\{\begin{matrix}
r(A) \leqslant 2;\\
r(A) \geqslant 2.
\end{matrix}\right.
\Rightarrow
$$
$$
r(A) = 2.
$$
第 $(Ⅱ)$ 问
题目中要我们求解的是非齐次方程的通解，由“非齐通 = 齐通 + 非齐特”可知，我们只需要求解出 $Ax = 0$ 的通解和 $Ax = \beta$ 的特解即可。
由题知：
$$
\alpha_{3} = \alpha_{1} + 2 \alpha_{2} \Rightarrow
$$
$$
\alpha_{1} + 2 \alpha_{2} – \alpha_{3} = 0 \Rightarrow
$$
$$
(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}) \begin{bmatrix}
1\\
2\\
-1
\end{bmatrix} = 0.
$$
于是可知，$\begin{bmatrix}
1\\
2\\
-1
\end{bmatrix}$ 是 $Ax = 0$ 的一个解。
又由第 $(Ⅰ)$ 问可知，$r(A) = 2$, 由于 $3 – 2 = 1$, 于是，$Ax = 0$ 的基础解系中只有一个解，即 $\begin{bmatrix}
1\\
2\\
-1
\end{bmatrix}$ 可以作为 $Ax = 0$ 的一个基础解系，对应的通解就是：
$$
k \begin{bmatrix}
1\\
2\\
-1
\end{bmatrix}, 其中 k 为任意常数.
$$
又由题知：
$$
\beta = \alpha_{1} + \alpha_{2} + \alpha_{3} \Rightarrow
$$
$$
\beta = (\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}) \begin{bmatrix}
1\\
1\\
1
\end{bmatrix} \Rightarrow
$$
$$
(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}) \begin{bmatrix}
1\\
1\\
1
\end{bmatrix} = \beta.
$$
于是可知，$\begin{bmatrix}
1\\
1\\
1
\end{bmatrix}$ 是 $Ax = \beta$ 的一个特解。
综上可知，$Ax = \beta$ 的通解为：
$$
k \begin{bmatrix}
1\\
2\\
-1
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
1\\
1\\
1
\end{bmatrix}, 其中 k 为任意常数.
$$