题目
求：
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \sum _{k = 1}^{n} \frac{k}{n^{2}} \ln (1 + \frac{k}{n}).
$$
解析
由题目所给式子中的 $\lim_{n \rightarrow \infty} \sum _{k = 1}^{n}$ 可知，本题虽然看上去是一个极限求和的题目，但很显然，我们无法直接完成这个求和过程，只能利用定积分的定义将该式转换为定积分之后再求解，过程如下：
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \sum _{k = 1}^{n} \frac{k}{n^{2}} \ln (1 + \frac{k}{n}) \Rightarrow
$$
$$
\lim_{n \rightarrow \infty} \sum _{k = 1}^{n} \frac{k}{n} \cdot \frac{1}{n} \ln (1 + \frac{k}{n}) \Rightarrow
$$
$$
{\color{Red}
\lim_{n \rightarrow \infty} \sum _{k = 1}^{n} [\frac{k}{n} \ln (1 + \frac{k}{n})] \cdot \frac{1}{n}} \quad {\color{White}①} \Rightarrow
$$
注：
[1]. 从 $①$ 式中的 $\frac{1}{n}$ 可知，积分区间的长度为 $1$, 该区间被分成了无数份，每份的长度为 $\frac{1}{n}$;
[2]. 从 $①$ 式中的 $\frac{k}{n} \ln (1 + \frac{k}{n})$ 的可知，变量可被视为 $\frac{k}{n}$, 而且，当 $k = 1$ 时，$\frac{k}{n} = 0$, 当 $k = n$ 时，$\frac{k}{n} = 1$, 因此，对应的积分区间就是 $[0, 1]$.
$$
{\color{White}
令 x = \frac{k}{n} \Rightarrow
}
$$
$$
{\color{Red}
\int_{0}^{1} x \ln (1+x) \mathrm{d} x} \Rightarrow
$$
$$
\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \ln (1+x) \mathrm{d} (x^{2}) \Rightarrow
$$
$$
{\color{White}
分部积分法 \Rightarrow
}
$$
$$
\frac{1}{2} [x^{2} \ln (1+x)|_{0}^{1} – \int_{0}^{1} x^{2} \cdot \frac{1}{1+x} \mathrm{d} x] \Rightarrow
$$
$$
\frac{1}{2} \ln 2 – \frac{1}{2} [\int_{0}^{1} \frac{(x^{2}-1)+1}{x+1} \mathrm{d} x] \Rightarrow
$$
$$
\frac{1}{2} \ln 2 – \frac{1}{2} [\int_{0}^{1} \frac{(x+1)(x-1)+1}{x+1} \mathrm{d} x] \Rightarrow
$$
$$
\frac{1}{2} \ln 2 – \frac{1}{2} [\int_{0}^{1} (x-1) + \frac{1}{x+1} \mathrm{d} x] \Rightarrow
$$
$$
\frac{1}{2} \ln 2 – \frac{1}{2} [(\frac{1}{2}x^{2} – x) |_{0}^{1} + \ln (x + 1)|_{0}^{1}] \Rightarrow
$$
$$
\frac{1}{2} \ln 2 – \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} + \ln 2) \Rightarrow
$$
$$
\frac{1}{2} \ln 2 + \frac{1}{4} – \frac{1}{2} \ln 2 = \frac{1}{4}.
$$