[高数]举例说明如何从无理方程中分解出有理方程

前言

在对有理函数进行积分的时候,我们常常需要对 $ax^{2} + bx + c$ 形式的方程进行拆分,以便将其写成部分和的形式或者做其他变形以计算积分。当 $ax^{2} + bx + c$ 是一个有理方程的时候,例如当其的两个实数解分别是 $x_{1} = aa$ 和 $x_{2} = bb$ 的时候,我们可以把 $ax^{2} + bx + c$ 写成 $(x-aa)(x-bb)$ 的形式,之后再利用如下式子求出 $A$ 和 $B$ 就完成对原有理函数 $\frac{cx + d}{ax^{2} + bx + c}$ 的拆分:

$$
\frac{A}{(x-aa)} + \frac{B}{(x-bb)} = \frac{cx + d}{ax^{2} + bx + c}
$$

注意:上式中的 $A$ 和 $B$ 可以包含未知数,只要能使上式成立即可,不一定都是常数。

但是,上述方法在应对分母是无理方程的有理函数积分时就失效了,因为无理方程没有实数解,无法拆分成 $(x-aa)(x-bb)$ 的形式。

其实,无理方程中一般都是“包含着”有理方程的,如果我们能把其中的有理方程“提取”出来,同样可以完成对这类包含无理方程的有理函数的积分。

本文将通过一个例子对此进行分析,以作参考。

注意:本文中提到的“有理方程”和“无理方程”都是【一元二次方程】。

正文

要提取出无理方程中的有理方程,我们首先要明白,是什么让一个方程成为了【无理】方程。

对于一元二次方程 $ax^{2} + bx + c$ 而言,无论这是一个有理方程还是无理方程,都有如下求解公式:

$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} – 4ac}}{2a}.
$$

当 $b^{2} – 4ac > 0$ 的时候,$ax^{2} + bx + c$ 是一个有理方程,当 $b^{2} – 4ac < 0$ 的时候,$ax^{2} + bx + c$ 是一个无理方程。

接着分析,由于 $b^{2} \geqslant 0$, 于是,一个方程是不是无理方程是由 $-4ac$ 是否大于 $b^{2}$ 决定的。

在实际解题的过程中,$-4ac$ 是否大于 $b^{2}$ 又往往是由 $c$ 的值决定的,因此,对于一个无理方程 $ax^{2} + bx + c$, 我们可以先不管常数 $c$, 先找出一个有理方程 $(x+d)^{2}$, 使得这个有理方程展开之后的二次方项和一次方项与原来无理方程中的二次方项与一次方项对应相等,之后再通过加减常数的方式配等常数项。

例如,对于无理方程:

$$
x^{2} + x + 1 \Rightarrow
$$

$$
x^{2} + x + C \Rightarrow
$$

$$
(x + \frac{1}{2})^{2} = x^{2} + x + \frac{1}{4} \Rightarrow
$$

$$
(x + \frac{1}{2})^{2} = x^{2} + x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} \Rightarrow
$$

$$
x^{2} + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4}.
$$

可以看到,我们从一个无理方程 $x^{2} + x + 1$ 中提取出了一个有理方程 $(x + \frac{1}{2})^{2}$.

在积分的时候,上述过程十分有用,例如:

$$
\int \frac{1}{x^{2} + x + 1} dx =
$$

$$
\int \frac{1}{ (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} } dx =
$$

$$
\int \frac{1}{ (\frac{\sqrt{3}}{2})^{2} + (x + \frac{1}{2})^{2} } dx =
$$

$$
\int \frac{1}{ ( \frac{\sqrt{3}}{2} )^{2} + (x + \frac{1}{2})^{2} } d (x + \frac{1}{2}) =
$$

$$
\frac{2 \sqrt{3}}{3} \arctan \frac{2x + 1}{\sqrt{3}} + C.
$$

Tips:
在计算积分的时候通过上述方法分解无理方程只是上述方法的其中一种应用场景。其实,总的来说,只要在解题过程中发现了无理方程,都要想到,我们有上述这种方法可以将其分解。