[线代]秩为 1 的矩阵的一些性质

前言

秩为 $1$ 的矩阵具有的一些独特性质往往能够帮助我们解决一些线性代数方面的题目,本文将对此做一个总结,以作参考。

正文

秩为 $1$ 的 $n$ 矩阵 $A$ 具有以下性质:

一、特征值为 $0,…,0, tr (A)$

矩阵 $A$ 有 $n-1$ 个 $0$ 特征值和 $1$ 个非 $0$ 特征值,而且,这个不等于 $0$ 的特征值就是矩阵 $A$ 原始状态下主对角线元素之和,也就是矩阵 $A$ 的迹:$tr (A)$.

二、任意两行(列)成比例

该性质也可以说是一个特征:只要看到一个矩阵(方阵)特别规范,即其任意两行以及任意两列都是成比例的,而且该矩阵还含有非零元素,那么,就要检查一下这个矩阵是不是一个秩为 $1$ 的矩阵。如果是一个秩为 $1$ 的矩阵,那么就要接着考虑能否使用本文所列举出来的这些性质。

三、$A = \alpha \beta^{\top}$

$\alpha$ 是非零列向量,$\beta^{\top}$ 是非零行向量,则:

$$
\alpha \beta^{\top} = A.
$$

例如:

$$
\begin{bmatrix}
1\\
2\\
3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1
\end{bmatrix}
=
$$

$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 1\\
2 & 2 & 2\\
3 & 3 & 3
\end{bmatrix}.
$$

四、$\beta^{\top} \alpha = tr (A)$

$\alpha$ 是非零列向量,$\beta^{\top}$ 是非零行向量,而且,$\alpha \beta^{\top} = A$, 则:

$$
\beta^{\top} \alpha = tr (A).
$$

例如:

$$
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1\\
1\\
1
\end{bmatrix}
=
$$

$$
1+2+3 = 6.
$$

五、$A^{k} = [tr (A)]^{k-1}A$

$$
A^{k} =
$$

$$
\alpha (\beta^{\top} \alpha) (\beta^{\top} \alpha) … (\beta^{\top} \alpha) \beta^{\top} =
$$

$$
\alpha [tr (A)]^{k-1} \beta^{\top} =
$$

$$
[tr (A)]^{k-1} A.
$$

六、秩为 $1$ 的矩阵一定可以相似对角化

我们知道,秩为 $1$ 的 $n$ 阶矩阵 $A$ 一定有一个不等于 $0$ 的特征值(如果所有特征值都等于 $0$, 那么其特征值就为 $0$ 了)和 $n-1$ 和等于 $0$ 的特征值,而这 $n-1$ 个等于 $0$ 的特征值又对应 $n-1$ 个线性无关的特征向量(找一个具体的矩阵演算一下即可发现此规律),于是,矩阵 $A$ 一定可以相似对角化。

此外,由于所有秩为 $1$ 的矩阵都可以化简成如下形式的对角矩阵,也说明秩为 $1$ 的矩阵可以相似对角化(所谓“能相似对角化”就是能找到一个对角矩阵且与其相似):

$$
\begin{bmatrix}
tr(A) & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
… & … & …\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}.
$$