2013年考研数二第13题解析

题目

已知 $y_{1} = e^{3x} – x e^{2x}$, $y_{2} = e^{x} – xe^{2x}$, $y_{3} = -xe^{2x}$ 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 $3$ 个解,则该方程满足条件 $y|_{x=0} = 0$, $y^{‘}|_{x=0}=1$ 的解为 $y=?$

解析

设该二阶常系数非齐次线性微分方程为:

$$
y^{”} + ay^{‘} + by = f(x).
$$

则其对应的二阶常系数齐次线性微分方程为:

$$
y^{”} + ay^{‘} + by = 0.
$$

于是:

$$
y_{1} – y_{3} = e^{3x};
$$

$$
y_{1} – y_{2} = e^{3x} – e^{x};
$$

$$
y_{2} – y_{3} = e^{x}.
$$

为 $y^{”} + ay^{‘} + by = 0$ 的三个特解。

则 $y^{”} + ay^{‘} + by = f(x)$ 对应的特征方程的特征根为:

$$
\lambda_{1} = 1;
$$

$$
\lambda_{2} = 3.
$$

于是,$y^{”} + ay^{‘} + by = 0$ 的通解为:

$$
Y(x) = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{3x}.
$$

由【非齐通 = 齐通 + 非齐特】可知,$y^{”} + ay^{‘} + by = f(x)$ 的通解为:

$$
y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{3x} -xe^{2x}.
$$

进而:

$$
y^{‘} = C_{1} e^{x} + 3 C_{2} e^{3x} – (e^{2x} + 2xe^{2x}).
$$

又:

$$
y(0) = 0;
$$

$$
y^{‘}(0) = 1.
$$

于是:

$$
C_{1} + C_{2} = 0;
$$

$$
C_{1} + 3C_{2} – 1 = 1.
$$

解得:

$$
C_{1} = -1;
$$

$$
C_{2} = 1.
$$

于是,$y^{”} + ay^{‘} + by = f(x)$ 的通解为:

$$
y = – e^{x} + e^{3x} -xe^{2x}.
$$

注意:要严格按照题目格式在答题卡上写答案,例如,在本题中,不要把答案写成 $y = – e^{x} + e^{3x} -xe^{2x}$.

综上可知,正确答案为 $- e^{x} + e^{3x} -xe^{2x}.$.

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