题目
已知 $y_{1} = e^{3x} – x e^{2x}$, $y_{2} = e^{x} – xe^{2x}$, $y_{3} = -xe^{2x}$ 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 $3$ 个解，则该方程满足条件 $y|_{x=0} = 0$, $y^{‘}|_{x=0}=1$ 的解为 $y=?$
解析
设该二阶常系数非齐次线性微分方程为：
$$
y^{”} + ay^{‘} + by = f(x).
$$
则其对应的二阶常系数齐次线性微分方程为：
$$
y^{”} + ay^{‘} + by = 0.
$$
于是：
$$
y_{1} – y_{3} = e^{3x};
$$
$$
y_{1} – y_{2} = e^{3x} – e^{x};
$$
$$
y_{2} – y_{3} = e^{x}.
$$
为 $y^{”} + ay^{‘} + by = 0$ 的三个特解。
则 $y^{”} + ay^{‘} + by = f(x)$ 对应的特征方程的特征根为：
$$
\lambda_{1} = 1;
$$
$$
\lambda_{2} = 3.
$$
于是，$y^{”} + ay^{‘} + by = 0$ 的通解为：
$$
Y(x) = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{3x}.
$$
由【非齐通 = 齐通 + 非齐特】可知，$y^{”} + ay^{‘} + by = f(x)$ 的通解为：
$$
y = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{3x} -xe^{2x}.
$$
进而：
$$
y^{‘} = C_{1} e^{x} + 3 C_{2} e^{3x} – (e^{2x} + 2xe^{2x}).
$$
又：
$$
y(0) = 0;
$$
$$
y^{‘}(0) = 1.
$$
于是：
$$
C_{1} + C_{2} = 0;
$$
$$
C_{1} + 3C_{2} – 1 = 1.
$$
解得：
$$
C_{1} = -1;
$$
$$
C_{2} = 1.
$$
于是，$y^{”} + ay^{‘} + by = f(x)$ 的通解为：
$$
y = – e^{x} + e^{3x} -xe^{2x}.
$$
注意：要严格按照题目格式在答题卡上写答案，例如，在本题中，不要把答案写成 $y = – e^{x} + e^{3x} -xe^{2x}$.
综上可知，正确答案为 $- e^{x} + e^{3x} -xe^{2x}.$.
EOF