题目
当 $x \rightarrow 0^{+}$ 时，若 $\ln ^{a} (1+2a)$, $(1-\cos x)^{\frac{1}{a}}$ 均是比 $x$ 高阶的无穷小，则 $a$ 的取值范围是 $?$
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A. (2, + \infty)
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B. (1, 2)
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$$
C. (\frac{1}{2}, 1)
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D. (0,\frac{1}{2})
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解析
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\ln (1+2x) \sim 2x \Rightarrow
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\ln^{a} (1+2x) \sim (2x)^{a}.
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$$
(1 – \cos x) \sim \frac{1}{2} x^{2} \Rightarrow
$$
$$
(1 – \cos x)^{\frac{1}{a}} \sim \frac{1}{2} x^{\frac{2}{a}}.
$$
为了使上面两个式子成为比 $x$ 高阶的无穷小，则必须有：
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a>1;
$$
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\frac{2}{a} > 1 \Rightarrow a < 2.
$$
于是，$a$ 的取值范围是：
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2 > a > 1.
$$
综上可知，正确选项为 $B$.
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