2021年考研数二第15题解析：三阶常系数线性齐次微分方程、实根、共轭复根

一、题目

难度评级：

二、解析

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 由题可知，该微分方程对应的特征方程为：

$$
\lambda^{3} – 1 = 0
$$

接着，由立方差公式：$a^{3}-b^{3} = \left( a-b \right) \left( a^{2}+ab+b^{2} \right)$ 可知，若令 $a=\lambda, b=1$, 则：

$$
\begin{aligned}
& \ \lambda^{3}-1 = \left( \lambda-1 \right) \left( \lambda^{2}+\lambda+1 \right) = 0 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \begin{cases}
\lambda – 1 = 0 \\
\lambda^{2} + \lambda + 1 = 0
\end{cases}
\end{aligned}
$$

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 对于 $\lambda-1=0$, 对应的解为：

$$
\lambda_{1} = 1
$$

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 对于 $\lambda^{2} + \lambda + 1 = 0$, 用求根公式，得：

$$
\lambda_{2,3} = \frac{-1\pm\sqrt{1-4}}{2} = \frac{-1\pm\sqrt{-3}}{2} = \frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}
$$

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 所以全部解是：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\begin{aligned}
\lambda_{1} & = 1 \\ \\
\lambda_{2} = \lambda_{3} & = -\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot i
\end{aligned}
}
$$

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 对于三阶常系数线性齐次微分方程，根据特征值为实根时候的通解计算公式，以及特征值为共轭复根时候的通解计算公式可知，该微分方程的通解为：

$$
y=C_{1}\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-\frac{1}{2}x}\left(C_{2}\cos \frac{\sqrt{3}}{2}x+C_{3}\sin \frac{\sqrt{3}}{2}x\right)
$$

其中，$C_{1}, C_{2}, C_{3}$ 为任意常数.

三、拓展习题

[1]. 通过特征根确定三阶常系数微分方程

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