2021年考研数二第14题解析（版本 2）：二重积分的计算、交换积分次序

一、题目

难度评级：

二、解析

因为要求的是 $f^{\prime}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$，而 $\dfrac{\pi}{2} > 1$，所以可在 $t > 1$ 的情形下进行接下来的讨论.

首先可知，原式为：

$$
f\left(t\right) = \int_{1}^{t^{2}} \mathrm{d}x \int_{\sqrt{x}}^{t} \sin \frac{x}{y} \mathrm{~d}y
$$

当 $1 \leq x \leq t^{2}$ 时，有：

$$
1 \leq \sqrt{x} \leq t
$$

因此，内层积分的下限小于等于上限，积分方向是正常的，不需要像原题那样先改变积分符号.

此时，对应的积分区域为：

$$
1 \leq x \leq t^{2}, \qquad \sqrt{x} \leq y \leq t
$$

也就是：

$$
1 \leq x \leq t^{2}, \qquad y \geq \sqrt{x}, \qquad y \leq t
$$

对应的积分区域如图 01 中蓝色阴影区域所示：

由图可知，交换积分次序（先对 $x$ 积分，后对 $y$ 积分）后，$y$ 的范围是：

$$
1 \leq y \leq t
$$

$x$ 的范围是：

$$
1 \leq x \leq y^{2}
$$

所以交换积分次序后，原式变为：

$$
f\left(t\right) = \int_{1}^{t} \mathrm{d}y \int_{1}^{y^{2}} \sin \frac{x}{y} \mathrm{~d}x
$$

接着，先计算内层积分 $\int_{1}^{y^{2}} \sin \dfrac{x}{y} \mathrm{d}x$.

由于对 $x$ 积分时，$y$ 是常数，于是，令：

$$
u = \frac{x}{y}, \qquad \mathrm{d}x = y \mathrm{~d}u
$$

因此：

$$
\begin{aligned}
\int \sin \frac{x}{y} \mathrm{d}x
&= y \int \sin u \mathrm{d}u \\ \\
&= y \left(-\cos u\right) \\ \\
&= -y \cos \frac{x}{y}
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
\int_{1}^{y^{2}} \sin \frac{x}{y} \mathrm{d}x
&= \left[-y \cos \frac{x}{y}\right]_{1}^{y^{2}} \\ \\
&= -y \cos \frac{y^{2}}{y} + y \cos \frac{1}{y} \\ \\
&= -y \cos y + y \cos \frac{1}{y}
\end{aligned}
$$

代回原式，得：

$$
\begin{aligned}
f\left(t\right)
&= \int_{1}^{t} \left(-y \cos y + y \cos \frac{1}{y}\right) \mathrm{d}y \\ \\
&= \int_{1}^{t} y \left(\cos \frac{1}{y} – \cos y\right) \mathrm{d}y
\end{aligned}
$$

即：

$$
f\left(t\right)
= \int_{1}^{t} y \left(\cos \frac{1}{y} – \cos y\right) \mathrm{d}y
\tag{1}
$$

到上面这个 $(1)$ 式，我们就把二重积分转化成了一重积分. 由于接下来只需要求 $f^{\prime}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$，所以不用再对这个一重积分做进一步计算.

下面对 $t$ 求导.

由变限积分求导公式可知：

$$
\begin{aligned}
f^{\prime}\left(t\right)
&= t \left(\cos \frac{1}{t} – \cos t\right)
\end{aligned}
$$

令 $t = \dfrac{\pi}{2}$，得：

$$
\begin{aligned}
f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)
&= \frac{\pi}{2} \left(\cos \frac{1}{\frac{\pi}{2}} – \cos \frac{\pi}{2} \right) \\ \\
&= \frac{\pi}{2} \left(\cos \frac{2}{\pi} – 0\right) \\ \\
&= \frac{\pi}{2} \cos \frac{2}{\pi}
\end{aligned}
$$

所以：

$$
\textcolor{lightgreen}{
f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)
= \frac{\pi}{2} \cos \frac{2}{\pi}
}
$$

---