2021年考研数二第09题解析：线性表示、齐次线性方程组的解

一、题目

»A« $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解均为 $\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解

»B« $\boldsymbol{A}^{\top}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解均为 $\boldsymbol{B}^{\top}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解

»C« $\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解均为 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解

»D« $\boldsymbol{B}^{\top}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解均为 $\boldsymbol{A}^{\top}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解

难度评级：

二、解析

解法 1

Tip

当前解法是一个能够解答本题的最简化的解法.

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由题已知：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A} & = \left(\boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \boldsymbol{a}_{3}\right) \\ \\
\boldsymbol{B} & = \left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}\right)
\end{aligned}
$$

又由题知 $\boldsymbol{a}_{1}, \boldsymbol{a}_{2}, \boldsymbol{a}_{3}$ 可由 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 线性表示.

因此，存在矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得：

$$
\boldsymbol{B}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{A}
$$

Tip

矩阵 $\boldsymbol{P}$ 不必须是一个可逆矩阵.

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于是，当 $\boldsymbol{B}^{\top}\boldsymbol{x}_{0}=\boldsymbol{0}$ 时，有：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A}^{\top}\boldsymbol{x}_{0} & = \left(\boldsymbol{B}\boldsymbol{P}\right)^{\top}\boldsymbol{x}_{0} \\ \\
& = \boldsymbol{P}^{\top}\boldsymbol{B}^{\top}\boldsymbol{x}_{0} \\ \\
& = \boldsymbol{P}^{\top} \left( \boldsymbol{B}^{\top}\boldsymbol{x}_{0} \right) \\ \\
& = \boldsymbol{P}^{\top} \cdot 0 \\ \\
& = \boldsymbol{0}
\end{aligned}
$$

因此可知，无论矩阵 $\boldsymbol{P}$ 是否是一个可逆矩阵，$\boldsymbol{A}^{\top}\boldsymbol{x}_{0} = 0$ 都恒成立.

综上可知，本 题 应 选 D

解法 2

Tip

当前解法比解法 1 更详细一些，主要是解释了解法 1 中矩阵 $\boldsymbol{P}$ 的来源.

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首先，令：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{\alpha}_{1} & = k_{11} \boldsymbol{\beta}_{1} + k_{12} \boldsymbol{\beta}_{2} + k_{13} \boldsymbol{\beta}_{3} \\ \\
\boldsymbol{\alpha}_{2} & = k_{21} \boldsymbol{\beta}_{1} + k_{22} \boldsymbol{\beta}_{2} + k_{23} \boldsymbol{\beta}_{3} \\ \\
\boldsymbol{\alpha}_{3} & = k_{31} \boldsymbol{\beta}_{1} + k_{32} \boldsymbol{\beta}_{2} + k_{33} \boldsymbol{\beta}_{3}
\end{aligned}
$$

又因为向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 可以由向量组 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 线性表示，所以：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A} & = \left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}\right) \begin{pmatrix}
k_{11} & k_{21} & k_{31} \\ k_{12} & k_{22} & k_{32} \\ k_{13} & k_{23} & k_{33}
\end{pmatrix} \\ \\
& = \left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}\right) \boldsymbol{P} \\ \\
& = \boldsymbol{B} \boldsymbol{P}
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\boldsymbol{A}^{\top} = \boldsymbol{P}^{\top} \left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}\right)^{\top} = \boldsymbol{P}^{\top} \left(\begin{matrix} \boldsymbol{\beta}_{1}^{\top} \\ \boldsymbol{\beta}_{2}^{\top} \\ \boldsymbol{\beta}_{3}^{\top} \end{matrix}\right) = \boldsymbol{P}^{\top} \boldsymbol{B}^{\top}
$$

因此，若 $\boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{x}_{0} = \boldsymbol{0}$, 则：

$$
\boldsymbol{A}^{\top} \boldsymbol{x}_{0} = \boldsymbol{P}^{\top} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}_{0} = \boldsymbol{0}
$$

于是可知，$\boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 和 $\boldsymbol{A}^{\top} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 是两个完全等价的式子，所以 $\boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 的解均为 $\boldsymbol{A}^{\top} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$ 的解.

综上可知，本 题 应 选 D

解法 3

首先，由题可知，存在矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得：

$$
\boldsymbol{A} = \boldsymbol{B} \boldsymbol{P}
$$

于是——

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ »A« $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解均为 $\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解.

由 $\boldsymbol{A} = \boldsymbol{B} \boldsymbol{P}$ 可知：

$$
\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{B} \boldsymbol{P} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{B} \left( \boldsymbol{P} \boldsymbol{x} \right)
$$

于是：

$$
\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = 0 \Leftrightarrow \boldsymbol{B} \left( \boldsymbol{P} \boldsymbol{x} \right) = 0
$$

但是，上式只能说明，当 $\boldsymbol{x}$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = 0$ 的解时，$\boldsymbol{P} \boldsymbol{x}$ 是 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x} = 0$ 的解，不能说明 $\boldsymbol{x}$ 本身是 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x} = 0$ 的解.

反例：

令：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A} & = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \\ \\
\boldsymbol{B} & = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

显然 $\boldsymbol{A}$ 的列向量可以由 $\boldsymbol{B}$ 的列向量线性表示.

若取 $\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}$, 则：

$$
\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = 0
$$

但是：

$$
\boldsymbol{B} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{x} \neq 0
$$

所以 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = 0$ 的解不一定是 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x} = 0$ 的解.

综上，»A« 选项错误.

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ »B« $\boldsymbol{A}^{\top}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解均为 $\boldsymbol{B}^{\top}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解.

由 $\boldsymbol{A} = \boldsymbol{B} \boldsymbol{P}$ 可知：

$$
\boldsymbol{A}^{\top} = \boldsymbol{P}^{\top} \boldsymbol{B}^{\top}
$$

于是：

$$
\boldsymbol{A}^{\top} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{P}^{\top} \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{x}
$$

即：

$$
\boldsymbol{A}^{\top} \boldsymbol{x} = 0 \Leftrightarrow \left( \boldsymbol{P}^{\top} \boldsymbol{B}^{\top} \right) \boldsymbol{x} = 0
$$

但是，上式只能说明，当 $\boldsymbol{x}$ 是 $\boldsymbol{A}^{\top} \boldsymbol{x} = 0$ 的解时，$\boldsymbol{x}$ 也是 $\left( \boldsymbol{P}^{\top} \boldsymbol{B}^{\top} \right) \boldsymbol{x} = 0$ 的解，但不能说明 $\boldsymbol{x}$ 一定是 $\boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{x} = 0$ 的解.

因为 $\boldsymbol{P}^{\top}$ 可能会把非零向量变成零向量.

反例：

令：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A} & = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \boldsymbol{A}^{\top} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \\ \\
\boldsymbol{B} & = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } \boldsymbol{B}^{\top} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

显然 $\boldsymbol{A}$ 的列向量可以由 $\boldsymbol{B}$ 的列向量线性表示.

取 $\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix}$, 则：

$$
\boldsymbol{A}^{\top} \boldsymbol{x} = 0
$$

但是：

$$
\boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{x} \neq 0
$$

综上，»B« 选项错误.

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ »C« $\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解均为 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解.

由 $\boldsymbol{A} = \boldsymbol{B} \boldsymbol{P}$ 可知：

$$
\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{B} \boldsymbol{P} \boldsymbol{x}
$$

假如我们有 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{P} \boldsymbol{x} = 0$, 就可以推出 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = 0$, 也就能说明 $\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解均为 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解.

但是，由 $\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 得不出 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{P} \boldsymbol{x} = 0$——在矩阵乘法运算中，相乘的矩阵的先后顺序不能随便变化.

反例：

令：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{B} & = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix} \\ \\
\boldsymbol{P} & = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

则：

$$
\boldsymbol{A} = \boldsymbol{B} \boldsymbol{P} = \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$

此时 $\boldsymbol{A}$ 的列向量仍然可以由 $\boldsymbol{B}$ 的列向量线性表示.

取 $\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix}
0 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}$, 则：

$$
\boldsymbol{B} \boldsymbol{x} = 0
$$

但是：

$$
\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = \begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix} \neq 0
$$

综上，»C« 选项错误.

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ »D« $\boldsymbol{B}^{\top}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解均为 $\boldsymbol{A}^{\top}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 的解.

由 $\boldsymbol{A} = \boldsymbol{B} \boldsymbol{P}$ 可知：

$$
\boldsymbol{A}^{\top} = \boldsymbol{P}^{\top} \boldsymbol{B}^{\top}
$$

若 $\boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{x} = 0$, 则：

$$
\boldsymbol{A}^{\top} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{P}^{\top} \textcolor{orange}{\boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{x}} = \boldsymbol{P}^{\top} \cdot \textcolor{orange}{0} = 0
$$

综上可知，本 题 应 选 D

解法 4

Tip

当前解法是「荒原之梦考研数学」自主原创的解法，深度解析了 »A«, »B«, »C«, »D« 四个选项为什么正确或者错误的根本原因.

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题干告诉我们的最关键的条件，就是组成矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 可以由组成矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的向量组 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 线性表示，由此可知，存在矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{B}\boldsymbol{P} & = \boldsymbol{A} \\
\boldsymbol{P}^{\top} \boldsymbol{B}^{\top} & = \boldsymbol{A}^{\top}
\end{aligned}
$$

Tip

由于 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 都是列向量，根据矩阵乘法的左行右列性质，只能对矩阵 $\boldsymbol{B}$ 右乘某个矩阵才能得到矩阵 $\boldsymbol{A}$, 一般不能在矩阵 $\boldsymbol{B}$ 左边乘以某个矩阵得到矩阵 $\boldsymbol{A}$, 即 $\boldsymbol{A} \neq \boldsymbol{P} \boldsymbol{B}$.

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为了让整个推导过程更加清晰，我们首先需要知道，使得 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = 0$ 成立的 $\boldsymbol{x}$ 和使得 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x} = 0$ 成立的 $\boldsymbol{x}$ 可能不是一个 $\boldsymbol{x}$, 因此，我们令：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}_{1} = 0 \\
\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}_{2} = 0
\end{aligned}
$$

或者：

$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{A}^{\top} \boldsymbol{x}_{1} = 0 \\
\boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{x}_{2} = 0
\end{aligned}
$$

Tip

上面的 $\boldsymbol{x}_{1}$ 和 $\boldsymbol{x}_{2}$ 只是为了在一个选项内部区分不同的解，并不是说明 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} = 0$ 的解，和 $\boldsymbol{A}^{\top} \boldsymbol{x} = 0$ 的解相同，也不是为了说明 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x} = 0$ 的解，和 $\boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{x} = 0$ 的解相同.

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于是——

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ »A« $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_{1} = \boldsymbol{0}$ 的解均为 $\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}_{2} = \boldsymbol{0}$ 的解.

由 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_{1} = \boldsymbol{0}$ 可以推出 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{P} \boldsymbol{x}_{1} = 0$, 但是 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{P} \boldsymbol{x}_{1} = 0$ 中的向量 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{x}_{1}$ 和 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}_{2} = 0$ 中的向量 $\boldsymbol{x}_{2}$ 不一定相等，因此，»A« 选项错误.

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ »B« $\boldsymbol{A}^{\top}\boldsymbol{x}_{1} = \boldsymbol{0}$ 的解均为 $\boldsymbol{B}^{\top}\boldsymbol{x}_{2} = \boldsymbol{0}$ 的解.

由 $\boldsymbol{A}^{\top} \boldsymbol{x}_{1} = 0$ 可以推出 $\boldsymbol{P}^{\top} \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{x}_{1} = 0$.

但是，$\boldsymbol{x}_{1}$ 对应的是 $\boldsymbol{P}^{\top} \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{x}_{1} = 0$ 中 $\boldsymbol{P}^{\top} \boldsymbol{B}^{\top}$ 的齐次解，而 $\boldsymbol{x}_{2}$ 对应的是 $\boldsymbol{B}^{\top} x_{2} = 0$ 中 $\boldsymbol{B}^{\top}$ 的齐次解，对应的矩阵不同，则 $\boldsymbol{x}_{1}$ 和 $\boldsymbol{x}_{2}$ 也不能保证有关系，因此，»B« 选项错误.

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ »C« $\boldsymbol{B}\boldsymbol{x}_{2} = \boldsymbol{0}$ 的解均为 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_{1}=\boldsymbol{0}$ 的解.

由 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}_{2} = 0$ 只能推出 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}_{2} \boldsymbol{P} = 0$, 无法建立与 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}_{1}=\boldsymbol{0}$ 的关系，因此，»C« 选项错误.

$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ »D« $\boldsymbol{B}^{\top}\boldsymbol{x}_{2} = \boldsymbol{0}$ 的解均为 $\boldsymbol{A}^{\top}\boldsymbol{x}_{1} = \boldsymbol{0}$ 的解.

由 $\boldsymbol{B}^{\top}\boldsymbol{x}_{2} = \boldsymbol{0}$ 可以推出 $\boldsymbol{P}^{\top} \boldsymbol{B}^{\top}\boldsymbol{x}_{2} = \boldsymbol{0}$, 进而可以推出 $\boldsymbol{A}^{\top} \boldsymbol{x}_{2} = 0$, 从而可通过 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}_{1} = 0$ 将 $\boldsymbol{x}_{1}$ 和 $\boldsymbol{x}_{2}$ 建立等价关系.

综上可知，本 题 应 选 D

峰图 | 解法 5

由于向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 可以由向量组 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 线性表示，所以，我们可以认为向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 是向量组 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 的一个子集，但这个“子集”只在“列向量”发挥作用的情况下生效，因为 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 都是列向量，所以要经过转置操作，由此可以排除 »A« 选项和 »C« 选项.

同时，根据齐次线性方程组的性质，我们可以知道，由子集关系构成的矩阵对应的齐次线性方程组的解也是一致的子集关系.

所以，由子集关系的列向量组成的矩阵，必须经过转置运算（行列互换），使得参与线性运算的行向量是原来为子集关系的列向量的时候，才能在齐次线性方程组的运算中，将这种子集关系传递到方程组的解上.

上面的解释过程可能有些不够直观，没有包含太多比较形象的信息，接下来，我们就通过“峰图”的方式做一个更加直观的解释——由于这种解释方式的灵感来源于砌墙，所以，荒原之梦在这里将这种解释和理解向量的线性表示与齐次线性方程组的解之间的关系的方法称为“砖块砌墙理论”，详细内容可以查阅这篇文章：《峰图 | 基于“砖块砌墙理论”理解向量的线性表示与齐次线性方程组的解之间的关系》

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