2021年考研数二第04题解析：罗尔定理、零点定理

一、题目

»A« $\left(\mathrm{e}, +\infty \right)$

»B« $\left(0, \mathrm{e} \right)$

»C« $\left(0, \frac{1}{\mathrm{e}} \right)$

»D« $\left(\frac{1}{\mathrm{e}}, + \infty \right)$

难度评级：

二、解析

因为 $f \left( x \right) = a x – b \ln x$ 有两个零点，所以由罗尔定理可知，存在 $c \in \left( 0, + \infty \right)$, 使得下式成立：

$$
f^{\prime} \left( c \right) = a – \frac{b}{c} = 0
$$

进而可得：

$$
b = a c > 0 \tag{1}
$$

接着，对于 $f^{\prime} \left( x \right) = a – \frac{b}{x} = 0$, 有：

$$
x = \frac{b}{a}
$$

于是，结合 $(1)$ 式，可知：

$$
f^{\prime \prime} \left( x \right) = \frac{b}{x^{2}} > 0
$$

所以 $x = \frac{b}{a}$ 是函数 $f \left( x \right) = a x – b \ln x$ 的极小值点，且极小值为：

$$
f \left( \frac{b}{a} \right) = b – b \ln \frac{b}{a} = b \left( 1 – \ln \frac{b}{a} \right) \tag{2}
$$

又由 $f\left(x\right) = a x-b \ln x, a > 0, b > 0$ 可知：

$$
\begin{aligned}
f \left( 0^{+} \right) & = \lim_{x \to 0^{+}} \left( ax – b \ln x \right) \\ \\
& \sim \lim_{x \to 0^{+}} \left( x – \ln x \right) \\ \\
& \sim 0 – \left( – \infty \right) \\ \\
& = + \infty \\ \\ \\
f \left( + \infty \right) & = \lim_{x \to + \infty} \left( ax – b \ln x \right) \\ \\
& \sim \lim_{x \to + \infty} \left( x – \ln x \right) \\ \\
& \sim \left( \text{高阶} + \infty – \text{低阶} + \infty \right) \\ \\
& \sim + \infty
\end{aligned}
$$

所以，结合前面的 $(2)$ 式和零点定理可知，若要使 $f \left( x \right) = a x – b \ln x$ 有两个零点，就必须有：

$$
\begin{aligned}
& \ b \left( 1 – \ln \frac{b}{a} \right) < 0 \\ \\ \textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \ln \frac{b}{a} > 1 \\ \\
\textcolor{lightgreen}{ \leadsto } & \ \textcolor{lightgreen}{ \frac{b}{a} > \mathrm{e} }
\end{aligned}
$$

综上可知，本 题 应 选 A