2021年考研数二第03题解析：导数的物理应用

一、题目

»A« $125 \pi \ \mathrm{cm}^{3} / \mathrm{s}$, $40\pi \ \mathrm{cm}^{2} / \mathrm{s}$.

»B« $125 \pi \ \mathrm{cm}^{3} / \mathrm{s}$, $-40\pi \ \mathrm{cm}^{2} / \mathrm{s}$.

»C« $-100 \pi \ \mathrm{cm}^{3} / \mathrm{s}$, $40\pi \ \mathrm{cm}^{2} / \mathrm{s}$.

»D« $-100 \pi \ \mathrm{cm}^{3} / \mathrm{s}$, $-40\pi \ \mathrm{cm}^{2} / \mathrm{s}$.

难度评级：

二、解析

设 $t$ 为时间，则圆柱体的底面半径为 $r\left( t \right)$, 高为 $h\left( t \right)$, 且由题可知：

$$
\begin{aligned}
r^{\prime}\left( t \right) & = \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} t} = 2 \\ \\
h^{\prime}\left( t \right) & = \frac{\mathrm{d} h}{\mathrm{d} t} = -3
\end{aligned}
$$

又因为，圆柱体的体积计算公式为：

$$
\begin{aligned}
V \left( t \right) & = \pi r^{2} h \\ \\
& = \pi \cdot r^{2} \left( t \right) \cdot h \left( t \right)
\end{aligned}
$$

圆柱体的表面积计算公式为：

$$
\begin{aligned}
S\left( t \right) & = 2 \pi r^{2} + 2 \pi r h \\ \\
& = 2 \pi \cdot r^{2} \left( t \right) + 2 \pi \cdot r \left( t \right) \cdot h \left( t \right)
\end{aligned}
$$

于是可知，圆柱体的体积随时间的变化率公式（导数）为：

$$
\begin{align}
V^{\prime}\left( t \right) & = \frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{d} t} \notag \\ \notag \\
& = 2\pi \cdot r \left( t \right) \cdot h \left( t \right) \cdot r^{\prime}\left( t \right) + \pi \cdot r^{2} \left( t \right) \cdot h^{\prime}\left( t \right) \tag{1}
\end{align}
$$

圆柱体的表面积随时间的变化率公式（导数）为：

$$
\begin{align}
S^{\prime}\left( t \right) & = \frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{d} t} \notag \\ \notag \\
& = 4 \pi \cdot r \left( t \right) \cdot r^{\prime}\left( t \right) + 2 \pi \cdot h \left( t \right) \cdot r^{\prime}\left( t \right) + 2\pi \cdot r \left( t \right) \cdot h^{\prime}\left( t \right) \tag{2}
\end{align}
$$

综上，将 $r \left( t \right) = r = 10, h \left( t \right) = h = 5, r^{\prime} \left( t \right) = 2, h^{\prime}\left( t \right) = -3$ 分别代入上面的 $(1)$ 式和 $(2)$ 式，得：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\begin{aligned}
V^{\prime} \left( t \right) & = -100 \pi \\ \\
S^{\prime} \left( t \right) & = 40 \pi
\end{aligned}
}
$$

综上可知，本 题 应 选 C

---