极限的定义

定义 1：数列的极限

$\lim_{n \to \infty} x_{n} = A$ 等价于：

对于 $\forall \varepsilon > 0$, $\exists$ 正整数 $N$, 使得当 $n > N$ 时，有 $\left| x_{n} – A \right| < \varepsilon$.

其中，$A$ 是一个有限数.

若一个数列 $\left\{ x_{n} \right\}$ 存在极限，就称该数列 $\left\{ x_{n} \right\}$ 收敛，否则，就称该数列 $\left\{ x_{n} \right\}$ 发散.

定义 2：函数的极限

$\lim_{x \to \infty} f \left( x \right) = A$ 等价于：

对于 $\forall \varepsilon > 0$, $\exists$ 正数 $X$, 使得当 $\left| x \right| > X$ 时有 $\left| f \left( x \right) – A \right| < \varepsilon$.

类似地，可定义函数的单侧极限 $\lim_{x \to + \infty} f \left( x \right) = A$ 和 $\lim_{x \to – \infty} f \left( x \right) = A$.

注意：

在函数极限情形下 $x \to \infty$ 与数列极限中 $n \to \infty$ 的意义不同：在函数中，$x \to \infty$ 指的是 $x \to \pm \infty$, 而在数列中，$x \to \infty$ 指的是 $n \to + \infty$.

定义 3：函数的极限

$\lim_{x \to x_{0}} f \left( x \right) = A$ 等价于：

对于 $\forall \varepsilon > 0$, $\exists$ 正数 $\delta$, 使得当 $0 < \left| x – x_{0} \right| < \delta$ 时有 $\left| f \left( x \right) – A \right| < \varepsilon$.

类似地，可以定义 $f \left( x \right)$ 当 $x \to x_{0}$ 时的左极限 $f \left( x_{0}^{-} \right)$ 和右极限 $f \left( x_{0}^{+} \right)$:

$$
\begin{aligned}
f \left( x_{0}^{-} \right) & = \lim_{x \to x_{0}^{-}} f \left( x \right) = A \\ \\
f \left( x_{0}^{+} \right) & = \lim_{x \to x_{0}^{+}} f \left( x \right) = A
\end{aligned}
$$

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