一、题目
曲线 $y = \sqrt[3]{x^{3}-3x^{2}+1}$ 的渐近线方程为 $\underline{\qquad}$.
二、解析
方法 1
$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 判断是否存在水平渐近线：
$$
\lim_{x \to \infty}\sqrt[3]{x^{3}-3x^{2}+1} = \infty
$$
于是可知，曲线 $y = \sqrt[3]{x^{3}-3x^{2}+1}$ 无水平渐近线.
$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 又因为 $y=\sqrt[3]{x^{3}-3x^{2}+1}$ 在区间 $\left( -\infty,+\infty \right)$ 上连续，从而曲线 $y=\sqrt[3]{x^{3}-3x^{2}+1}$ 无竖直渐近线.
$\textcolor{lightgreen}{\blacktriangleright}$ 于是，只能求解倾斜渐近线：
$$
\begin{aligned}
k & = \lim_{x \to \infty}\frac{y}{x} \\ \\
& = \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt[3]{x^{3}-3x^{2}+1}}{x} \\ \\
& = \lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{\frac{x^{3}-3x^{2}+1}{x^{3}}} \\ \\
& = \lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{3}}} \\ \\
& = \sqrt[3]{1 – 0 + 0} \\ \\
& = 1
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
b & = \lim_{x \to \infty} \left( y-x \right) \\ \\
& = \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt[3]{x^{3}-3x^{2}+1}-x \right) \\ \\
& = \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt[3]{x^{3} \left( 1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{3}} \right)}-x \right) \\ \\
& = \lim_{x \to \infty} x \left( \sqrt[3]{1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{3}}}-1 \right) \\ \\
& = \lim_{\frac{1}{x} \to 0} \frac{\sqrt[3]{1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{3}}}-1}{\frac{1}{x}} \\ \\
& = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3}\left( -\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{3}} \right)}{\frac{1}{x}} \\ \\
& = \lim_{x \to \infty}x \cdot \frac{1}{3}\left( -\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{3}} \right) \\ \\
& = \lim_{x \to \infty}x \cdot \frac{1}{3}\left( -\frac{3}{x} + 0 \right) \\ \\
& = -1
\end{aligned}
$$
在上面对于 $\lim_{\frac{1}{x} \to 0} \frac{\sqrt[3]{1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{3}}}-1}{\frac{1}{x}}$ 的计算过程中，使用了常用的等价无穷小公式.
求解 $b = \lim_{x \to \infty} \left( y-x \right)$ 的另两种方法：
（1）
$$
\begin{aligned}
b & = \lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x^{3} – 3x^{2} + 1} – x \\ \\
& = \lim_{x \to \infty} x \cdot \left[ \left( 1 + \frac{1 – 3x^{2}}{x^{3}} \right)^{\frac{1}{3}} – 1 \right] \\ \\
& = \lim_{x \to \infty} x \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1 – 3x^{2}}{x^{3}} \\ \\
& = \lim_{x \to \infty} x \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{- 3}{x} \\ \\
& = -1
\end{aligned}
$$
（2）
由于：
$$
a^{3} – b^{3} = \left( a-b \right) \left( a^{2} + ab + b^{2} \right)
$$
所以：
$$
a – b = \frac{\left( a-b \right) \left( a^{2} + ab + b^{2} \right)}{\left( a^{2} + ab + b^{2} \right)} = \frac{a^{3} – b^{3}}{\left( a^{2} + ab + b^{2} \right)}
$$
于是，若令 $\sqrt[3]{x^{3} – 3x^{2} + 1} = a$, $x = b$, 则有：
$$
\begin{aligned}
b & = \lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x^{3} – 3x^{2} + 1} – x \\ \\
& = \lim_{x \to \infty} \frac{\left( \sqrt[3]{x^{3} – 3x^{2} + 1} – x \right)\left( \sqrt[3]{x^{3} – 3x^{2} + 1} \right)^{2} + \sqrt[3]{x^{3} – 3x^{2} + 1} \cdot x + x^{2}}{\left( \sqrt[3]{x^{3} – 3x^{2} + 1} \right)^{2} + \sqrt[3]{x^{3} – 3x^{2} + 1} \cdot x + x^{2}} \\ \\
& = \lim_{x \to \infty} \frac{\left( \sqrt[3]{x^{3} – 3x^{2} + 1} \right)^{3} – x^{3}}{\left( \sqrt[3]{x^{3} – 3x^{2} + 1} \right)^{2} + \sqrt[3]{x^{3} – 3x^{2} + 1} \cdot x + x^{2}} \\ \\
& = \lim_{x \to \infty} \frac{\left( \sqrt[3]{x^{3} – 3x^{2} + 1} \right)^{3} – x^{3}}{\left( \sqrt[3]{x^{3}} \right)^{2} + \sqrt[3]{x^{3}} \cdot x + x^{2}} \\ \\
& = \lim_{x \to \infty} \frac{\left( \sqrt[3]{x^{3} – 3x^{2} + 1} \right)^{3} – x^{3}}{x^{2} + x^{2} + x^{2}} \\ \\
& = \lim_{x \to \infty} \frac{\left( \sqrt[3]{x^{3} – 3x^{2} + 1} \right)^{3} – x^{3}}{3x^{2}} \\ \\
& = \lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} – 3x^{2} + 1 – x^{3}}{3x^{2}} \\ \\
& = -1
\end{aligned}
$$
于是可知，斜渐近线方程为：
$$
\begin{aligned}
y & = ax + b \\ \\
& = x-1
\end{aligned}
$$
方法 2
如果曲线 $y = \sqrt[3]{x^{3}-3x^{2}+1}$ 存在水平渐近线或者倾斜渐近线，那么，当 $x \to \infty$ 的时候，曲线 $y = \sqrt[3]{x^{3}-3x^{2}+1}$ 和其渐近线将看上去几乎完全重合，也就是“等价”，因此，我们通过求解曲线 $y = \sqrt[3]{x^{3}-3x^{2}+1}$ 在 $x \to \infty$ 时的等价表达式，就可以求解出其渐近线表达式：
$$
\begin{aligned}
y & = \lim_{x \to \infty} \sqrt[3]{x^{3}-3x^{2}+1} \\ \\
& = \lim_{x \to \infty} x\sqrt[3]{1-\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{3}}} \\ \\
& = \lim_{x \to \infty} x \left[ 1+\frac{1}{3}\left( -\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{3}} \right) + o \left( \frac{1}{x} \right) \right] \\ \\
& = \lim_{x \to \infty} \left[ x – 1 + x \cdot o \left( \frac{1}{x} \right) \right]
\end{aligned}
$$
于是可知，斜渐近线方程为：
$$
y = x – 1
$$
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