2025年考研数二第05题解析：二重积分的表示与转换

一、题目

»A«. $\int_{{0}}^{4}\left[ \int_{{-2}}^{{-\sqrt{4-y}}} f\left( x,y \right)\mathrm{~d}x + \int_{{\sqrt{4-y}}}^{2} f\left( x,y \right)\mathrm{~d}x \right]\mathrm{~d}y$

»B«. $\int_{{0}}^{4}\left[ \int_{{-2}}^{{\sqrt{4-y}}} f\left( x,y \right)\mathrm{~d}x + \int_{{\sqrt{4-y}}}^{2} f\left( x,y \right)\mathrm{~d}x \right]\mathrm{~d}y$

»C«. $\int_{{0}}^{4}\left[ \int_{{-2}}^{{-\sqrt{4-y}}} f\left( x,y \right)\mathrm{~d}x + \int_{{2}}^{{\sqrt{4-y}}} f\left( x,y \right)\mathrm{~d}x \right]\mathrm{~d}y$

»D«. $2 \int_{{0}}^{4}\mathrm{d}y \int_{{\sqrt{4-y}}}^{2} f\left( x,y \right)\mathrm{~d}x$

二、解析

积分区域如图 01 所示：

由图可知，完整的积分区域 $D$ 可以表示为 $D_{{1}} \cup D_{{2}}$，其中：

$D_{{1}}: \begin{cases}
-2 \leq x \leq -\sqrt{4-y} \\
0 \leq y \leq 4
\end{cases}
$

$D_{{2}}: \begin{cases}
\sqrt{4-y} \leq x \leq 2 \\
0 \leq y \leq 4
\end{cases}$，

于是：

$$
\begin{aligned}
& \ \int_{{-2}}^{{2}} \mathrm{d}x \int_{{4-x^{2}}}^{{4}} f\left( x,y \right)\mathrm{~d}y \\ \\
= & \ \textcolor{orange}{ \int_{{0}}^{{4}} \mathrm{d}y } \int_{{-2}}^{{-\sqrt{4-y}}} f\left( x,y \right)\mathrm{~d}x + \textcolor{orange}{ \int_{{0}}^{{4}} \mathrm{d}y } \int_{{\sqrt{4-y}}}^{{2}} f\left( x,y \right)\mathrm{~d}x \\ \\
= & \ \textcolor{orange}{ \int_{{0}}^{{4}} } \left[ \int_{{-2}}^{{-\sqrt{4-y}}} f\left( x,y \right)\mathrm{~d}x + \int_{{\sqrt{4-y}}}^{{2}} f\left( x,y \right)\mathrm{~d}x \right] \textcolor{orange}{\mathrm{~d}y}
\end{aligned}
$$

综上可知，本 题 应 选 A

由于积分区域 $D$ 是关于坐标系的 $Y$ 轴对称的，因此，D 选项的成立需要 $f(x, y)$ 是一个关于 $x$ 的偶函数这一条件，即：

$$
f\left( x,y \right) = f\left( -x,y \right)
$$

如果有上面这个条件，则 D 选项就可以被推导出来：

$$
\begin{aligned}
& \ \int_{{-2}}^{{2}} \mathrm{d}x \int_{{4-x^{2}}}^{{4}} f\left( x,y \right)\mathrm{~d}y \\ \\
= & \ \int_{{0}}^{{4}} \mathrm{d}y \int_{{\sqrt{4-y}}}^{{2}} \left[ f\left( x,y \right) + f\left( -x,y \right) \right]\mathrm{~d}x \\ \\
= & \ 2 \int_{{0}}^{{4}} \mathrm{d}y \int_{{\sqrt{4-y}}}^{{2}} f\left( x,y \right)\mathrm{~d}x
\end{aligned}
$$

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