2026年考研数二第12题解析：泰勒公式、麦克劳林公式、一点处的极限

一、题目

二、解析

根据泰勒公式/麦克劳林公式可知：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{x \rightarrow 0} \left[\frac{1}{x} – \frac{\ln(1+x)}{x\sin x}\right] \\ \\
= \ & \lim_{x \rightarrow 0} \left[\frac{\sin x}{x \sin x} – \frac{\ln(1+x)}{x\sin x}\right] \\ \\
= \ & \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x – \ln(1+x)}{x\sin x} \\ \\
= \ & \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\left[x-\frac{1}{6}x^{3}+o(x^{3})\right]-\left[x-\frac{1}{2}x^{2}+o(x^{2})\right]}{x^{2}} \\ \\
= \ & \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\frac{1}{2}x^{2}+o(x^{2})}{x^{2}} \\ \\
= \ & \frac{1}{2}
\end{aligned}
$$

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