两个函数发生平移变换前后相乘所得函数相等性的分析

一、前言

已知：

$$
\begin{aligned}
Z_{1}(x) & = f(x) \cdot g(x) \\ \\
Z_{2}(x) & = f(x) \cdot g(x – k)
\end{aligned}
$$

其中，$x$ 为函数 $Z_{1}$, $Z_{2}$, $f$ 和 $g$ 的自变量，$k$ 为任意实数.

从上面的式子可知，函数 $g(x – k)$ 是函数 $g(x)$ 沿着坐标轴的 $X$ 轴向左或者向右平移 $k$ 个单位的结果.

那么，在什么条件下，函数 $Z_{1}(x)$ 和函数 $Z_{2}(x)$ 会相等呢？

二、正文

若 $Z_1(x) = Z_2(x)$ 成立，则：

$$
\begin{align}
& f(x) \cdot g(x) = f(x) \cdot g(x – k) \notag \\ \notag \\
\leadsto \ & f(x) \cdot g(x) – f(x) \cdot g(x – k) = 0 \notag \\ \notag \\
\leadsto \ & \textcolor{lightgreen}{ f(x) \left[ g(x) – g(x – k) \right] = 0 } \tag{1}
\end{align}
$$

若要使上面的 $(1)$ 式成立，则必有：

$$
\textcolor{orange}{
f(x) = 0
}
$$

或者：

$$
\textcolor{orange}{
g(x) = g(x – k)
}
$$

也就是说，若要使得 $f(x) \cdot g(x)$ $=$ $f(x) \cdot g(x – k)$, 则 $f(x)$ 需要是一个恒为零的函数，或者 $g(x)$ 是一个以 $k$ 为周期的周期函数.

---