由变限积分得来的微分方程一般存在隐含的初值

一、题目

二、解析

观察可知，本题给的是一个用三角函数和变限积分函数表示的等式：

$$
\textcolor{lightgreen}{ f(x) = \sin x – \int_{0}^{x} (x – t) f(t) \mathrm{~d} t } \tag{1}
$$

但由于等式的两端都含有函数 $f$, 因此，我们可以初步断定，本题实际上给出的是一个微分方程，可以用求解微分方程的方式求解出函数 $f(x)$ 的表达式——也就是对应的微分方程的通解.

为了使用微分方程的方式求解本题，我们就需要将上面的式子 $(1)$ 变形为微分方程的形式，也就是使得式子中出现函数 $f$ 的一阶导、二阶导……

因此，我们需要对上面的式子 $(1)$ 进行求导运算.

首先：

$$
\begin{align}
\textcolor{lightgreen}{ f(x) } & = \sin x – \int_{0}^{x} (x – t) f(t) \mathrm{~d} t \notag \\ \notag \\
& = \sin x – \int_{0}^{x} \left[ x f(t) – t f(t) \right] \mathrm{~d} t \notag \\ \notag \\
& = \textcolor{lightgreen}{ \sin x – x \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~d} t + \int_{0}^{x} t f(t) \mathrm{~d} t } \tag{2}
\end{align}
$$

接着，在式子 $(2)$ 的等号两端，同时对 $x$ 求导，得：

$$
\begin{align}
\textcolor{lightgreen}{ f^{\prime}(x) } & = \cos x – \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~d} t – x f(x) + x f(x) \notag \\ \notag \\
& = \textcolor{lightgreen}{ \cos x – \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~d} t } \tag{3}
\end{align}
$$

在式子 $(3)$ 的等号两端，继续同时对 $x$ 求导，得：

$$
\begin{align}
& f^{\prime \prime}(x) = -\sin x – f(x) \notag \\ \notag \\
\leadsto \ &\textcolor{lightgreen}{ f^{\prime \prime}(x) + f(x) = -\sin x } \tag{4}
\end{align}
$$

可以看到，上面的式子 $(4)$ 是一个二阶常系数非齐次线性微分方程，对应的齐次方程的特征方程为：

$$
\lambda^{2} + 1 = 0
$$

解之得特征根为：

$$
\textcolor{lightgreen}{
\lambda = \pm i
} \tag{5}
$$

Tip

其中，$i$ 表示虚数单位，$i^{2} = -1$.

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又由《二阶常系数线性非齐次方程的通解》可知，式子 $(4)$ 对应的非齐次线性微分方程的通解 $f(x)$ 实际上是由该非齐次微分方程的特解 $Y^{*}$ 以及对应的齐次微分方程的通解 $Y$ 相加得到的：

$$
\textcolor{lightgreen}{
f(x) = Y^{*} + Y
} \tag{6}
$$

首先，根据《特征方程的根为复数时的二阶常系数线性齐次微分方程的通解形式》可知，本题中的齐次微分方程 $f^{\prime \prime}(x) + f(x) = 0$ 对应的通解为：

$$
\textcolor{lightgreen}{
Y = C_{1} \cos x + C_{2} \sin x
} \tag{7}
$$

其中 $C_{1}, C_{2}$ 为任意常数.

接着，根据《特征方程的根为复数时的二阶常系数线性非齐次微分方程的特解形式》可知，本题中的非齐次微分方程 $f^{\prime \prime}(x) + f(x) = -\sin x$ 对应的特解为：

$$
\textcolor{lightgreen}{
Y^{*} = x (a \sin x + b \cos x)
} \tag{8}
$$

对上面的 $(8)$ 式求导，可得：

$$
\begin{align}
\textcolor{lightgreen}{ \left( Y^{*} \right) ^{\prime} } & = \textcolor{lightgreen}{ a \sin x + b \cos x + x (a \cos x – b \sin x) } \notag \\ \notag \\ \textcolor{lightgreen}{ \left( Y^{*} \right) ^{\prime \prime} } & = a \cos x – b \sin x + a \cos x – b \sin x + x (- a \sin x – b \cos x) \notag \\
& = \textcolor{lightgreen}{ 2a \cos x – 2b \sin x – x (a \sin x + b \cos x) } \tag{9}
\end{align}

$$

将上面的 $(8)$ 式和 $(9)$ 式代入 $(4)$ 式，可得：

$$
\begin{aligned}
& 2a \cos x – 2b \sin x – x (a \sin x + b \cos x) + x (a \sin x + b \cos x) = -\sin x \\ \\
\leadsto \ & 2a \cos x – 2b \sin x = -\sin x \\ \\
\leadsto \ & -2b \sin x = -\sin x \\ \\
\leadsto \ & \textcolor{yellow}{ \begin{cases}
a = 0 \\
b = \frac{1}{2}
\end{cases} }
\end{aligned}
$$

因此可知，非齐次微分方程 $f^{\prime \prime}(x) + f(x) = -\sin x$ 的特解为：

$$
\textcolor{lightgreen}{
Y^{*} = \frac{x}{2} \cos x
} \tag{10}
$$

进而可知，非齐次微分方程 $f^{\prime \prime}(x) + f(x) = -\sin x$ 的通解为：

$$
\textcolor{lightgreen}{
f(x) = C_{1} \cos x + C_{2} \sin x + \frac{x}{2} \cos x
} \tag{11}
$$

其中 $C_{1}, C_{2}$ 为任意常数.

又由 $(1)$ 式可知：

$$
\textcolor{yellow}{
f(0) = 0
} \tag{12}
$$

且由 $(3)$ 式可知：

$$
\textcolor{yellow}{
f^{\prime}(0) = 1
} \tag{13}
$$

接着，对式子 (11) 求导，可得：

$$
\textcolor{lightgreen}{
f ^{\prime} (x) = – C_{1} \sin x + C_{2} \cos x + \frac{1}{2} \cos x – \frac{x}{2} \sin x
} \tag{14}
$$

于是，将 式子 $(12)$ 和 式子 $(13)$ 分别代入式子 $(11)$ 和式子 $(14)$, 可得：

$$
\textcolor{yellow}{ C_{1} = 0 }, \quad \quad \textcolor{yellow}{ C_{2} = \frac{1}{2} }
$$

综上可知，该非齐次微分方程真正的通解为：

$$
\textcolor{green}{
\boldsymbol{
f(x) = \frac{1}{2} \sin x + \frac{x}{2} \cos x
}
}
$$

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