什么叫极限存在？什么叫极限不存在？

一、前言

在高等数学中，我们会用到“极限存在”和“极限不存在”这样的表述。那么：

1. 等于零属于极限存在的范畴吗？
2. 趋于零属于极限存在的范畴吗？
3. 趋于无穷小属于极限存在的范畴吗？
4. 趋于无穷大属于极限存在的范畴吗？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将针对上面的问题逐一解答。

二、解析

在数学中，所谓的极限就是一个确定的实数。如果要将极限表示在平面直角坐标系中，就是一条可以绘制出来的，平行于 $X$ 轴的直线，如图 01 中的绿色直线就表示极限 $A$:

所以，回到我们在本文开头所提到几个问题：

$0$ 是一个确定的实数，等于零很显然就是极限存在。

事实上，如果 $K$ 是一个包含 $0$ 在内的任意实数，那么，如果下式成立：

$$
\lim f(x) = K
$$

就可以说，$f(x)$ 的极限存在，且极限值为 $K$.

同样的，$0$ 是一个确定的实数，如果 $f(x)$ 在某个极限条件 $\lim_{\Delta}$ 下只趋于零，那么，$f(x)$ 在 $\lim_{\Delta}$ 这个极限条件下的极限就是存在的。

因此，只要下式成立：

$$
\lim_{\Delta} f(x) \rightarrow 0
$$

就可以说，$f(x)$ 的极限存在，且极限值为 $0$.

“无穷小”就是“趋于零”，所以，“趋于无穷小”就是“趋于趋于零”，也就是“趋于零”，所以，根据前面的分析，如果 $f(x)$ 趋于零，就说明 $f(x)$ 的极限是存在的，且这个极限就是 $0$.

很显然，我们无法用一条平行于平面直角坐标系 $X$ 轴的确定的直线来表示“无穷大”，因为根据高阶无穷大的理论，无穷大量 $\infty$ 不仅分为正无穷大量 $+ \infty$ 和负无穷大量 $- \infty$, 而且不同的无穷大量之间也相距无穷大远，如图 02 所示：

因此，如果 $f(x)$ 趋于无穷大，那么，$f(x)$ 的极限就是不存在的。

那么，同样都是趋于“无穷”，为什么趋于无穷大的时候极限就不存在，而趋于无穷小的时候，极限就存在呢？

这是因为，虽然根据高阶无穷小的理论，无穷小量也有无穷多个，但这些无穷小量都是紧密位于 $0$ 附近的，紧密到都可以用趋于零来表示（如图 03 所示），但无穷大量则是发散分布在数轴无穷远处的，无法统一为用趋于某个具体的实数来表示（如图 02 所示）。

所以，如果 $f(x)$ 趋于无穷小，那么其极限就是存在的，而如果 $f(x)$ 趋于无穷大，那么其极限就是不存在的。

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