如何确定行列式展开计算公式中每一项的正负？

一、前言

在荒原之梦考研数学的《行列式的定义式（计算公式）该怎么理解？》这篇文章中，我们理解了如下这个行列式的计算公式中每一项的具体含义：

$$
\left|\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1⁢⁢⁢n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2⁢⁢⁢n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{m}\end{matrix}\right| =
\textcolor{yellow}{\sum _{j_{1} j_{2} \cdots j_{n}}} \textcolor{springgreen}{\left(−1\right)^{\tau \left(j_{1}j_{2} \cdots j_{n}\right)}} \textcolor{pink}{a_{1j_{1}}a_{2j_{2}} \cdots a_{n}}
$$

这个计算公式是一个标准的计算公式，因为其中表示行列式行数的 “$a_{1}$, $a_{2}$, $\cdots$, $a_{n}$” 是顺序排列的，那么，如果组成行列式展开式中的项的元素不是顺序排列相乘的，该怎么确定这个项的正负呢？

在本文中，荒原之梦考研数学就带大家一探究竟。

二、正文

首先，如果行列式展开式中项的元素是按照行下标从 $1$ 到 $n$ 顺序排列的，如下：

$$
a_{1 j_{1}} \cdot a_{2 j_{2}} \cdot a_{3 j_{3}} \cdots a_{n j_{n}}
$$

则该项的系数就由列下标的逆序数决定：

$$
\tau \left( j_{1} j_{2} \cdots j_{n} \right)
$$

这也是我们在文章前言部分给出的行列式的标准展开计算公式中所定义的。

但如果我们深入剖析一下就会发现，此时行下标完全是顺序排列，逆序数为 $\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{0}}$:

$$
123 \cdots n
$$

此时，行下标的逆序数，加上列下标的逆序数，仍然等于列下标的逆序数：

$$
\textcolor{yellow}{\tau \left( j_{1} j_{2} \cdots j_{n} \right)} + \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{0}} = \textcolor{yellow}{\tau \left( j_{1} j_{2} \cdots j_{n} \right)}
$$

那么，我们就可以可以的猜测，行列式展开式中的每一项的正负是否都是取决于行下标逆序数与列下标逆序数之和呢？如果这个“和”是偶数，那么这一项的乘积就是正数，如果这个“和”是奇数，那么这一项的乘积就是负数？就像下面这样：

$$
\begin{aligned}
(-1) ^{\text{偶数}} & = 1 \\
(-1) ^{\text{奇数}} & = -1
\end{aligned}
$$

事实上，这个猜测是对的。

例如，对于下面这个三阶行列式，我们根据三阶行列式特有的展开计算可得：

$$
\begin{aligned}
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{vmatrix} & = \\ \\
& + \left( a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} \right) \\
& \textcolor{springgreen}{+ \left( a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} \right)} \\
& + \left( a_{13} \cdot a_{32} \cdot a_{21} \right) \\
& – \left( a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31} \right) \\
& \textcolor{orangered}{- \left( a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33} \right)} \\
& – \left( a_{11} \cdot a_{32} \cdot a_{23} \right)
\end{aligned}
$$

对于上面的 “$\textcolor{springgreen}{+ \left( a_{\textcolor{pink}{1} \textcolor{red}{2}} \cdot a_{\textcolor{pink}{2} \textcolor{red}{3}} \cdot a_{\textcolor{pink}{3} \textcolor{red}{1} } \right)}$” 这一项，行下标及列下标的逆序数为：

$$
\begin{cases}
\tau \left( \textcolor{pink}{123} \right) = \textcolor{pink}{0} \\
\tau \left( \textcolor{red}{231} \right) = \textcolor{red}{2}
\end{cases}
$$

所以该项的正负号为正号：

$$
\left( -1 \right) ^{\textcolor{pink}{0} + \textcolor{red}{2} } = 1
$$

当然，即便我们对 “$\textcolor{springgreen}{+ \left( a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} \right)}$” 中的三个元素重新排列为 “$\textcolor{springgreen}{+ \left( a_{\textcolor{pink}{2} \textcolor{red}{3}} \cdot a_{\textcolor{pink}{1} \textcolor{red}{2}} \cdot a_{\textcolor{pink}{3} \textcolor{red}{1}} \right)}$”，得到的正负号结果仍然是一样的：

$$
\begin{cases}
\tau \left( \textcolor{pink}{213} \right) = \textcolor{pink}{1} \\
\tau \left( \textcolor{red}{321} \right) = \textcolor{red}{3}
\end{cases} \Rightarrow \left( -1 \right) ^{\textcolor{pink}{1} + \textcolor{red}{3} } = 1
$$

同样的，对 “$\textcolor{orangered}{- \left( a_{\textcolor{springgreen}{1} \textcolor{yellow}{2} } \cdot a_{\textcolor{springgreen}{2} \textcolor{yellow}{1}} \cdot a_{\textcolor{springgreen}{3} \textcolor{yellow}{3}} \right)}$” 这一项的验证也能得到该项正负号为负号的结果：

$$
\begin{cases}
\tau \left( \textcolor{springgreen}{123} \right) = \textcolor{springgreen}{0} \\
\tau \left( \textcolor{yellow}{213} \right) = \textcolor{yellow}{1}
\end{cases} \Rightarrow \left( -1 \right) ^{\textcolor{springgreen}{0} + \textcolor{yellow}{1} } = -1
$$

同样的，即便将 “$\textcolor{orangered}{- \left( a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33} \right)}$” 中元素的顺序重新排列为 “$\textcolor{orangered}{- \left( a_{\textcolor{springgreen}{3} \textcolor{yellow}{3} } \cdot a_{\textcolor{springgreen}{2} \textcolor{yellow}{1}} \cdot a_{\textcolor{springgreen}{1} \textcolor{yellow}{2} } \right)}$”, 仍然可以得到该项的符号为负号的结论：

$$
\begin{cases}
\tau \left( \textcolor{springgreen}{321} \right) = \textcolor{springgreen}{3} \\
\tau \left( \textcolor{yellow}{312} \right) = \textcolor{yellow}{2}
\end{cases} \Rightarrow \left( -1 \right) ^{\textcolor{springgreen}{3} + \textcolor{yellow}{2} } = -1
$$

三、例题

下面我们通过一道题来实际使用一下上面这个定理。

已知，六阶行列式有 $6!$ $=$ $720$ 项，且其中一项为：

$$
-a_{13} \cdot a_{2 \textcolor{orangered}{i}} \cdot a_{46} \cdot a_{34} \cdot a_{61} \cdot a_{5 \textcolor{orangered}{j} }
$$

则：

$$
\begin{cases}
i = ? \\
j = ?
\end{cases}
$$

四、解析

通过题目，我们可以知道，题目所给的项的正负号是负数，而且行下标是不缺失的，列下标缺失两个数字 $i$ 和 $j$.

首先，行下标的逆序数为：

$$
\tau \left( 124365 \right) = 2
$$

由于行下标是一个偶数，所以为了使该项的正负号为负数，就需要列下标的逆序数为奇数。

Note

需要注意的是，根据荒原之梦考研数学在本文中所述的定理：
*当项的符号为负数的时候，行下标为偶数，列下标就一定为奇数；行下标为奇数，列下标就一定是偶数；
**当项的符号为正数的时候，行下标为偶数，列下标就一定为偶数；行下标为奇数，列下标就一定为奇数。

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又因为，根据行列式展开式中项中的元素一定来自行列式的不同行和不同列的原则，题目所给项中已有的列为：

$$
3, \textcolor{orangered}{i}, 6, 4, 1, \textcolor{orangered}{j}
$$

因此，缺失的列为：

$$
2, 5
$$

那么，如果 $i = 5$, $j = 2$, 则列的逆序数为：

$$
\tau \left( 356412 \right) = 10
$$

很显然，”$10$” 不是一个奇数，所以不符合我们之前的推理。

那么，只能令 $i = 2$, $j = 5$, 此时，列的逆序数为：

$$
\tau \left( 326415 \right) = 7
$$

很显然，”$7$” 是一个奇数，符合我们之前的推理。

所以，本题的答案就是：

$$
\begin{cases}
i = 2 \\
j = 5
\end{cases}
$$

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