2024年考研数二第21题解析：证明绝对值式子小于XX，需要“两头围堵”

一、题目

设函数 $f (x)$ 具有 2 阶导数, 且 $f^{'} (0)$ $=$ $f^{'} (1)$ , $| f^{''} (x) | \leq 1$ , 证明:

(1) 当 $x \in (0, 1)$ 时, $| f (x) - f (0) (1 - x) - f (1) x |$ $\leq$ $\frac{x (1 - x)}{2}$ ;

(2) $| \int_{0}^{1} f (x) d x - \frac{f (0) + f (1)}{2} |$ $\leq$ $\frac{1}{12}$ .

难度评级：

二、解析

第 (1) 问 | 解法一

当 $x \in (0, 1)$ 时, 题目要证明：

$| f (x) - f (0) (1 - x) - f (1) x | \leq \frac{x (1 - x)}{2}$

其实就是要证：

$- \frac{x (1 - x)}{2} \leq f (x) - f (0) (1 - x) - f (1) x \leq \frac{x (1 - x)}{2}$

上面的式子是对题目所给的含绝对值式子的同义转换，这样去掉绝对值符号之后，才有利于我们开展接下来的计算。

同时也要注意到，对于计算一个绝对值式子小于某个值或式子的情况，我们在去绝对值之后，要采取如上“两头围堵”的方式进行，少了任何一“头”都不正确。

接下来，我们准备采取构造函数，求导判断凹凸性和最值得方式求解本问，所以，为了描述方便，首先构造如下函数：

$\begin{aligned} g (x) \\ = f (0) (1 - x) + x f (1) \\ = f (0) - x f (0) + x f (1) \end{aligned}$

且易知：

$g^{'} (x) = - f (0) + f (1) \Rightarrow 常数$

同时可知：

${\begin{cases} g (0) = f (0) \\ g (1) = f (1) \end{cases}$

证明 $f (x) - f (0) (1 - x) - f (1) x \leq \frac{x (1 - x)}{2}$

令：

$F (x) = f (x) - g (x) - \frac{x (1 - x)}{2}, x \in (0, 1)$

于是，题目要证 $f (x) - f (0) (1 - x) - f (1) x$ $\leq$ $\frac{x (1 - x)}{2}$ , 其实就是证：

$F (x) \leq 0$

$F (x)$ 在闭区间 $[0, 1]$ 端点处的取值情况：

$\begin{aligned} F (0) \\ = f (0) - g (0) - 0 \\ = f (0) - f (0) \\ = 0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} F (1) \\ = f (1) - g (1) - 0 \\ = f (1) - f (1) \\ = 0 \end{aligned}$

由上面的计算可知，函数 $F (x)$ 在 $x = 0$ 和 $x = 1$ 这两个端点处的取值都不大于零。

为了判断 $F (x)$ 的在开区间 $(0, 1)$ 上的凹凸性，我们需要对 $F (x)$ 进行求导：

【一阶导】

$\begin{aligned} F^{'} (x) \\ = f^{'} (x) - g^{'} (x) - \frac{1}{2} (1 - 2 x) \\ = f^{'} (x) + x + 常数 \end{aligned}$

【二阶导】

$\begin{aligned} F^{''} (x) \\ = f^{''} (x) + 1 \\ \underset{\to}{| f^{''} (x) | \leq 1} F^{''} (x) \geq 0 \end{aligned}$

由于 $F (x)$ 的二阶导不小于零，因此， $F (x)$ 为凹函数

又由于 $F (x)$ 在闭区间 $[0, 1]$ 端点处的值不大于零，因此，在开区间 $(0, 1)$ 内，我们有：

$F (x) \leq 0$

于是，我们就证明了：

$f (x) - f (0) (1 - x) - f (1) x \leq \frac{x (1 - x)}{2}$

证明 $- \frac{x (1 - x)}{2} \leq f (x) - f (0) (1 - x) - f (1) x$

要证明：

$- \frac{x (1 - x)}{2} \leq f (x) - f (0) (1 - x) - f (1) x$

类似的，我们首先令：

$F (x) = f (x) - g (x) + \frac{x (1 - x)}{2}, x \in (0, 1)$

由于：

${\begin{cases} F (0) = 0 \\ F (1) = 0 \end{cases}$

且：

$F^{''} (x) = f^{''} (x) - 1$

又：

$| f^{''} (x) | \leq 1$

所以：

$F^{''} (x) \geq 0$

于是可知， $F (x)$ 为凸函数。

进而可知：

$F (x) \geq 0$

于是，下式成立：

$∴ f (x) - f (0) (1 - x) - f (1) x \geq - \frac{x (1 - x)}{2}$

综上，下式成立：

$| f (x) - f (0) (1 - x) - f (1) x | \leq \frac{x (1 - x)}{2}$

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一、题目

二、解析

第 (1) 问 | 解法一

证明 f(x)–f(0)(1−x)−f(1)x≤x(1−x)2

证明 −x(1−x)2≤f(x)–f(0)(1−x)−f(1)x

证明 $f (x) - f (0) (1 - x) - f (1) x \leq \frac{x (1 - x)}{2}$

证明 $- \frac{x (1 - x)}{2} \leq f (x) - f (0) (1 - x) - f (1) x$