2008 年研究生入学考试数学一选择题第 6 题解析

题目

设随机变量 [latex]X[/latex] 服从参数为 [latex]1[/latex] 的泊松分布,则 [latex]P {X=E(X^{2})}=[/latex]__.

解析

每年考研数学一试卷中填空题的最后一题基本都是考一个概率论中的知识。本题考察的知识很明确,就是:泊松分布。

泊松分布的概念如下:

设随机变量 [latex]X[/latex] 的概率分布为:

[latex]P {X=k}=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!} (\lambda>0,k=0,1,2,3 \dots)[/latex]

则称 [latex]X[/latex] 服从参数为 [latex]\lambda[/latex] 的泊松分布,记为 [latex]X \backsim P(\lambda).[/latex]

此外,在泊松分布中,数学期望 [latex]E(X)=\lambda,[/latex] 方差 [latex]D(X)=\lambda.[/latex]

最后,我们还需要知道 [latex]E(X)[/latex] 与 [latex]D(X)[/latex] 的关系公式:

[latex]D(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}.[/latex]

由题目信息可知,该题中泊松分布的参数 [latex]\lambda=1[/latex], 于是我们知道:

[latex]E(X)=D(X)=1.[/latex]

由于题目中要求的表达式中含有 “[latex]E(X^{2})[/latex]”, 而在 [latex]E(X)[/latex] 与 [latex]D(X)[/latex] 的关系式中也含有 “[latex]E(X^{2})[/latex]”, 于是,我们有:

[latex]E(X^{2})=D(X)+[E(X)]^{2}.[/latex]

进而有:

[latex]E(X^{2})=1+1^{2}=1+1=2.[/latex]

于是,我们要求的表达式就变成了:

[latex]P{X=E(X^{2})} \Rightarrow P{X=2}.[/latex]

至此,我们已经知道了泊松分布的计算公式中的两个未知量的数值,分别是:

[latex]\lambda=1,k=E(X^{2})=2.[/latex]

于是,根据泊松分布的计算公式,我们有:

[latex]P=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}=\frac{1^{2}e^{-1}}{2!}=\frac{e^{-1}}{2 \times 1}=\frac{1}{e} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2e}.[/latex]

综上可知,正确答案就是:[latex]\frac{1}{2e}[/latex]

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