2024年考研数二第16题解析:矩阵的化简

一、题目题目 - 荒原之梦

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性相关, 而其中任意两个向量均线性无关, 得:

$$
r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)=2
$$

如果 $a = 1$, 则 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 和 $\boldsymbol{\alpha}_{1}$ 就会线性相关,此时 $r\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)=1$, 因此:

$$
a \neq 1
$$

获取了这些基本信息之后,我们对矩阵 $\left(\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)$ 进行初等行变换:

$$
\begin{aligned}
\left(\alpha_{2}, \alpha_{1}, \alpha_{3}\right) & = \left(\begin{array}{ccc}
1 & a & 1 \\
1 & 1 & a \\
b & -1 & -1 \\
a & 1 & 1
\end{array}\right) \\ \\
& \rightarrow\left(\begin{array}{ccc}
1 & a & 1 \\
0 & 1-a & a-1 \\
0 & -1-a b & -1-b \\
0 & 1-a^{2} & 1-a
\end{array}\right) \\ \\
& \rightarrow \left(\begin{array}{ccc}
1 & a & 1 \\
0 & 1 & -1 \\
0 & -1-a b & -1-b \\
0 & 1+a & 1
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$

于是,第 $3$ 行和第 $2$ 成比例,第 $4$ 行和第 $2$ 行也要成比例(只有这样才能保证将第 $3$, $4$ 两行全部消为 $0$):

$$
\begin{aligned}
\frac{-1-ab}{1} & = \frac{-1-b}{-1} \Rightarrow \frac{\textcolor{springgreen}{-1-ab}}{\textcolor{orangered}{1}} = \frac{\textcolor{springgreen}{1+b}}{\textcolor{orangered}{1}}\\ \\
\frac{1+a}{1} & = \frac{1}{-1} \Rightarrow \frac{\textcolor{springgreen}{1+a}}{\textcolor{orangered}{1}} = \frac{\textcolor{springgreen}{-1}}{\textcolor{orangered}{1}}
\end{aligned}
$$

于是:

$$
\begin{cases}
\textcolor{springgreen}{-1-a b=1+b} \\
\textcolor{springgreen}{1+a=-1}
\end{cases}
$$

解得:

$$
\begin{cases}
a=-2 \\
b=2
\end{cases}
$$

因此 $a b=-4$


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