2024年考研数二第04题解析:用特例法求解判断数列的敛散性

一、题目题目 - 荒原之梦

已知数列 $\left\{a_n\right\}\left(a_n \neq 0\right)$, 若 $\left\{a_n\right\}$ 发散, 则 ( )

(A) $\left\{a_n+\frac{1}{a_n}\right\}$ 发散

(B) $\left\{a_n-\frac{1}{a_n}\right\}$ 发散

(C) $\left\{e^{a_n}+\frac{1}{e^{a_n}}\right\}$ 发散

(D) $\left\{e^{a_n}-\frac{1}{e^{a_n}}\right\}$ 发散

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

A 选项

令:

$$
a_n = 2, \frac{1}{2}, 2 \cdots
$$

则:

$$
a_n+\frac{1}{a_n} = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}
$$

所以,数列 $\left\{a_n+\frac{1}{a_n}\right\}$ 收敛,A 选项错误

令:

$$
a_n=\left\{\begin{array}{ll}a, & n \text { 为奇数, } \\ \frac{1}{a}, & n \text { 为偶数 }\end{array}(a \neq 0)\right.
$$

则数列 $\left\{a_n+\frac{1}{a_n}\right\}$ $=$ $\left\{a+\frac{1}{a}\right\}$ 收敛, A 选项错误

B 选项

令:

$$
a_n = 1 – 1 + 1 – 1 + \cdots = (-1)^{n-1}
$$

于是:

$$
a_n \ – \ \frac{1}{a_n}=0
$$

所以数列 $\left\{a_n-\frac{1}{a_n}\right\}$ $=$ $\{0\}$ 收敛,B 选项错误

令:

$$
a_n = -1 + 1 – 1 + 1 – \cdots = (-1)^n
$$

所以数列 $\left\{a_n-\frac{1}{a_n}\right\}$ $=$ $\left\{(-1)^n+(-1)^{n+1}\right\}$ $=$ $\{0\}$ 收敛,B 选项错误

C 选项

令:

$$
a_n = -1 + 1 – 1 + 1 – \cdots = (-1)^n
$$

所以:

$$
– a_n = 1 – 1 + 1 – 1 + \cdots = -(-1)^n
$$

因此 $e^{a_n}+e^{-a_n}$ $=$ $e^{-1} + e$.

由于此时数列 $\left\{\mathrm{e}+\frac{1}{\mathrm{e}}\right\}$ $=$ $\{e^{-1} + e\}$ 是一个常数数列,常数数列一定是收敛的,因此 C 选项错误

或者,若 $a_{n}$ $=$ $(-1)^n$, 则数列:

$\left\{\mathrm{e}^{a_n}+\frac{1}{\mathrm{e}^{a_n}}\right\}$ $=$ $\left\{\mathrm{e}^{(-1)^n}+\mathrm{e}^{(-1)^{n+1}}\right\}$ $=$ $\left\{\mathrm{e}+\frac{1}{\mathrm{e}}\right\}$ 也收敛, C 选项错误

综上可知,本题应选 D.


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