2024年考研数二第03题解析:奇奇复合才为奇,有偶复合必为偶

一、题目题目 - 荒原之梦

设函数 $f(x)$ $=$ $\int_{0}^{\sin x} \sin t^{3} \mathrm{~d} t$, $g(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{~d} t$, 则 ($\quad$)

(A) $f(x)$ 是奇函数, $g(x)$ 是奇函数
(B) $f(x)$ 是奇函数, $g(x)$ 是偶函数
(C) $f(x)$ 是偶函数, $g(x)$ 是偶函数
(D) $f(x)$ 是偶函数, $g(x)$ 是奇函数

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

解法 01

因此,首先,令:

$$
h(x) = \int_{0}^{x} \sin t^{3} \mathrm{~d} t
$$

求导,得:

$$
h^{\prime}(x) = \sin x^{3}
$$

由于 $h^{\prime}(x)$ 是奇函数,因此 $h(x)$ 是一个偶函数。

进而,$f(x)$ $=$ $h(\sin x)$ 为偶函数。

由于 $f(x)$ 积分才能得到 $g(x)$, 则由《快速判断函数奇偶性的方式汇总》可知,$g(x)$ 为奇函数。

综上可知,本题应选 D.

解法 02

根据偶函数的定义,若 $f(-x)$ $=$ $f(x)$ 成立,则 $f(x)$ 为偶函数,因此:

$$
\begin{aligned}
f(-x) & = \int_{0}^{\sin (-x)^{3}} \sin t \mathrm{~d} t \\
& \xlongequal{t=-u} -\int_{0}^{\sin x^{3}} \sin (-u) \mathrm{d} u \\
& = \int_{0}^{\sin x^{3}} \sin (-u) \mathrm{~d} (-u) \\
& \xlongequal{-u = t} \int_{0}^{\sin x^{3}} \sin t \mathrm{~d} t \\
& = f(x)
\end{aligned}
$$

于是可知,$f(x)$ 是偶函数,进而可知,$g(x)$ 是奇函数。

综上可知,本题应选 D.


荒原之梦考研数学思维导图
荒原之梦考研数学思维导图

高等数学箭头 - 荒原之梦

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。

线性代数箭头 - 荒原之梦

以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。

特别专题箭头 - 荒原之梦

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。

荒原之梦考研数学网 | 让考场上没有难做的数学题!

荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress