用基础线性代数知识解释明白为什么由 AB=A 不一定能推出 B=E

一、前言

根据我目前掌握的信息，中文互联网上至少从 2012 年开始，就有人询问下面这类线性代数问题：

§ 如果 $AB=A$, 那么可以得出 $B=E$ 吗？

§ 为什么由 $AB = A$ 不可以推出 $B=E$?

虽然此后每隔几年都有人问上面这类问题，但是得到的解释要么涉及高等代数的概念，要么就仅仅是搬出来教材上给定的结论，直接说：$AB = A$ $\nRightarrow$ $B = E$——

上面这类解释其实都没能回答下面这两个核心疑问：

1. 为什么由 $AB=A$ 不一定能推出 $B=E$?
2. $B$ 应该是一个怎样的矩阵？

在本文中，荒原之梦网就利用最基本的线性代数知识，解释明白上面这两个疑问，大家继续往下看哦。

注意：本文接下来的内容只作为兴趣讨论，在工科考研数学中，我们只需要记住：“由 $AB = AC$ 不一定能得出 $B = C$”这一结论即可。

二、正文

一、证明过程

假设有 $n$ 阶矩阵 $A$ 和 $B$, 且 $n \geqslant 2$, 则：

$$
A B=A \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
A^{*} A B = A^{*} A } = |A| E \tag{1}
$$

由于 $A^{*} A = |A| E$ 为实对称矩阵，因此，一定存在可逆矩阵 $P$ 将矩阵 $A^{*} A$ 相似对角化，得到对角矩阵 $\Lambda$:

$$
P^{-1} A^{*} A P = \Lambda \Rightarrow
$$

$$
P P^{-1} A^{*} A P=P \Lambda \Rightarrow
$$

$$
A^{*} A P=P \Lambda \Rightarrow
$$

$$
A^{*} A P P^{*}=P \Lambda P^{*} \Rightarrow
$$

$$
A^{*} A|P|=P \Lambda P^{*} \Rightarrow
$$

由于矩阵 $P$ 可逆，$|P| \neq 0$, 于是：

$$
A^{*} A=\frac{1}{|P|} P \Lambda P^{*}
$$

因此，对于 $(1)$ 式：

$$
A^{*} A B=A^{*} A \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{|P|} P \Lambda P^{*} B=\frac{1}{|P|} P \Lambda P^{*} \Rightarrow
$$

$$
P \Lambda P^{*} B=P \Lambda P^{*} \Rightarrow
$$

$$
P^{-1} P \Lambda P^{*} B=P^{-1} P \Lambda P^{*} \Rightarrow
$$

$$
\Lambda P^{*} B=\Lambda P^{*} \Rightarrow
$$

$$
\Lambda P^{*} B P=\Lambda P^{*} P \Rightarrow
$$

$$
\Lambda P^{*} B P=\Lambda|P| \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
\frac{1}{|P|} \Lambda P^{*} B P = \Lambda
}
\tag{2}
$$

由于对角矩阵相似对角化之后还是原来的自己，因此，$A^{*} A$ 相似对角化所得的对角矩阵 $\Lambda$ 其实就是 $|A| E$:

$$
\Lambda = |A| E
$$

而且，由于对角矩阵在对角化的过程中，其行和列最终没有发生任何变化，因此，完成前文中对角化的可逆矩阵 $P$ 其实就是矩阵 $k E$（$k = 1, 2, 3, \dots$, $E$ 为单位矩阵）：

$$
\begin{cases}
P = kE \\
|P| = k^{n} \\
P^{*} = (kE)^{*} = k^{n-1}E^{*} = k^{n-1}E
\end{cases}
$$

$E E^{*} = |E| E$ $\Rightarrow$ $E^{*} = E$. （$E$ 为单位矩阵，可逆）

于是，对于 $(2)$ 式，有：

$$
\frac{1}{|P|} \Lambda P^{*} B P=\Lambda \Rightarrow
$$

$$
\frac{|A|}{|P|} P^{*} B P=|A| E \Rightarrow
$$

$$
\frac{|A|}{k^{n}} k^{n-1} E B k E=|A| E \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orangered}{
\boldsymbol{
|A| B=| A \mid E
}
}
$$

接着，我们可以对矩阵 $A$ 进行分块，针对 $A$ 可逆与不可逆的子式，分别进行讨论：

① 当矩阵 $A$ 的行列式 $|A| \neq 0$ 时，有且仅有矩阵 $B = E$；同理，当矩阵 $A$ 的子式 $A_{i}$ 的行列式 $|A_{i}| \neq 0$ 时，有且仅有矩阵 $B$ 中对应位置和大小的分块 $B_{i} = E$；

② 假如 $A$ 已经充分化简：当矩阵 $A$ 的行列式 $|A| = 0$ 时，矩阵 $B$ 可以包含任意元素；同理，当矩阵 $A$ 的子式 $A_{i}$ 的行列式 $|A_{i}| = 0$ 时，矩阵 $B$ 中对应位置和大小的分块矩阵 $B_{i}$ 可以包含任意元素。

③ 假如 $A$ 尚未充分化简：当矩阵 $A$ 的行列式 $|A| = 0$ 时，矩阵 $B$ 具体包含什么范围的元素需要由具体的计算确定；同理，当矩阵 $A$ 的子式 $A_{i}$ 的行列式 $|A_{i}| = 0$ 时，矩阵 $B$ 中对应位置和大小的分块矩阵 $B_{i}$ 具体包含什么范围的元素需要由具体的计算确定。

二、在具体矩阵中的应用示例

当 $A = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 1 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}$ 时，由于 $|A| = 0$, 但其中包含一个可逆的子式 $\begin{vmatrix}
1 & 1 \\
0 & 2
\end{vmatrix} \neq 0$, 因此，在 $AB = A$ 的运算中，我们能直接确定的就是在矩阵 $B$ 中一定含有一个和矩阵 $A$ 中的子式 $\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 2
\end{bmatrix}$ 在同样位置和同样大小的单位矩阵 $E$:

$$
B = \begin{bmatrix}
1 & 0 & * \\
0 & 1 & * \\
* & * & *
\end{bmatrix}
$$

但是，由于矩阵 $A$ 没有充分化简，因此，上面矩阵 $B$ 中用 “$*$” 号表示的位置的元素到底是必须为零还是不必须为零，需要在具体的乘法计算中确定。

如果我们现在有一个已经充分化简的矩阵 $A$:

$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$

那么，我们就可以直接得到满足 $AB = A$ 运算的 $B$:

$$
B = \begin{bmatrix}
1 & 0 & a_{5} \\
0 & 1 & a_{4} \\
a_{1} & a_{2} & a_{3}
\end{bmatrix}
$$

其中，$a_{1}, a_{2}, \dots, a_{5}$ 可以为任意常数。

三、在抽象矩阵中的应用示例

虽然在前面所得的结论中，$AB = A$ 中的 $B$ 并不是一个能完全确定的矩阵，但在某些计算中，由于 $AB = A$ 中的 $B$ 与 $A$ 存在关联，因此，我们可以进一步探索此时的矩阵 $B$ 会具有的一些性质。

例如，已知：

$$
\begin{cases}
A (A+E)^{2} = A \\
A^{3} + 2 A^{2} = O
\end{cases}
$$

由前面的结论可得：

$$
|A| (A+E)^{2} = |A| E
$$

于是，若 $|A| \neq 0$, 则：

$$
(A+E)^{2} = E \Rightarrow
$$

$$
\begin{cases}
A + E = E \Rightarrow A = O \Rightarrow \text{ 与前提矛盾，舍去} \\
A + E = -E \Rightarrow A = -2E \Rightarrow \text{ 成立 }
\end{cases}
$$

若 $|A| = 0$, 则：

首先，为了使 $A^{3} + 2A^{2} = O$, 如果 $A^{3}$（可能包含为负数的元素）和 $2A^{2}$（只包含为正数或零的元素）想要在加法运算中抵消各自含有的非零元素，就需要 $A = -2E$, 但此时 $|A| \neq 0$, 因此，当 $|A| = 0$ 时，只能有（此时用特征值进行判断更方便，这里主要是为了提供另一种思路）：

$$
\begin{cases}
A^{3} = O \\
2A^{2} = O
\end{cases}
$$

由于矩阵 $A$ 可能是任意一个秩小于 $n$ 的矩阵，为了方便接下来的讨论，我们不妨假设 $n$ 是一个很大很大的数，其中 $j$ 行（或者列）中的元素是全为零的，且 $j < n$.

但是，只要 $n – j > 3$, 根据矩阵具有“越乘零越多”的趋势，我们不能保证在 $A$ 不可逆的情况下，$A^{3}$ 和 $2A^{2}$ 都是零矩阵，因此，为了保证 $n$ 为任意阶矩阵时 $A^{3} + 2A^{2} = O$ 都成立，此时，只能有：

$$
A = O
$$

当然，上面两种情况中得矩阵 $A$ 作为真正的矩阵 $A$ 的一个子式也是满足条件的，例如，以下的矩阵 $A$ 都能使 $A^{3} + 2A^{2} = O$ 成立：

$$
\begin{cases}
& A = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \\ \\
& A = \begin{bmatrix}
-2 & 0 & 0 \\
0 & -2 & 0 \\
0 & 0 & -2
\end{bmatrix} \\ \\
& A = \begin{bmatrix}
-2 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \\ \\
& A = \begin{bmatrix}
-2 & 0 & 0 \\
0 & -2 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
\end{cases}
$$

---