求旋转体的体积，但是不会画函数图像怎么办？

一、题目

由曲线 $y=\operatorname{ch} x=\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}$ 及三条直线 $x=-1$, $x=1$, $y=0$ 围成的曲边梯形绕 $Y$ 轴旋转一周而成的旋转体的体积等于多少？

难度评级：

二、解析

在本题中，我们不需要绘制曲线 $y$ 的示意图，因为题目已经说了围成的图形是一个曲边梯形，因此，直接套公式即可。

由于 $y=\frac{\mathrm{e}^{x}+\mathrm{e}^{-x}}{2}$ 是一个关于 $Y$ 轴对称的偶函数，因此，在绕 $Y$ 轴旋转的时候，我们只需要考虑其在第一象限的部分即可（但是千万不要因为是偶函数就乘以 $2$, 因为这是求旋转体的体积，而不是积分）：

$$
V= 2 \pi \int_{-1}^{1} x \cdot\left|\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right| \mathrm{d} x = 2 \pi \int_{0}^{1} x \cdot\left|\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\right| \mathrm{d} x \Rightarrow
$$

$$
V=\pi \int_{0}^{1} x\left(e^{x}+e^{-x}\right) \mathrm{d} x=
$$

$$
\pi \int_{0}^{1} x \mathrm{d} \left(e^{x}\right)-\pi \int_{0}^{1} x \mathrm{d} \left(e^{-x}\right)
$$

又：

$$
\int_{0}^{1} x \mathrm{d} \left(e^{x}\right)=\left.x e^{x}\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} e^{x} \mathrm{d} x=e-e+1=1
$$

又：

$$
\int_{0}^{1} x \mathrm{d} \left(e^{-x}\right)=\left.x e^{-x}\right|_{0} ^{1}+\int_{0}^{1} e^{-x} \mathrm{d} (-x)=
$$

$$
e^{-1}+e^{-1}-1=\frac{2}{e}-1
$$

于是：

$$
V=\pi\left(2-\frac{2}{e}\right)=2 \pi\left(1-\frac{1}{e}\right)
$$

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