在矩阵转置和求逆运算中，系数应该遵循什么运算规则？

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均 $n$ 阶可逆矩阵, 正确的公式为：

(A) $(3 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\mathrm{\top}}=\frac{1}{3} \boldsymbol{B}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}$

(B) $(5 \boldsymbol{A B})^{-1}=5 \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{A}^{-1}$

(C) $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{B}^{-1}$

(D) $(3 \boldsymbol{A}+5 \boldsymbol{B})^{\mathrm{\top}}=3 \boldsymbol{A}^{\mathrm{\top}}+5 \boldsymbol{B}^{\mathrm{\top}}$

难度评级：

二、解析

A 选项的正确运算：

$$
(3 AB)^{\top} = 3 B^{\top} A^{\top}
$$

B 选项的正确运算：

$$
(5 AB)^{-1} = \frac{1}{5} B^{-1} A^{-1}
$$

C 选项的正确运算：

一般情况下：

$$
(A + B)^{-1} \textcolor{orangered}{\neq} A^{-1} + B^{-1}
$$

D 选项本身就是正确：

$$
\textcolor{springgreen}{
(3A + 5B)^{\top} = 3A^{\top} + 5B^{\top}
}
$$

综上可知，本题应选 D.

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