使线性无关的向量组和等于零的系数有无数组

一、题目

当向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{s}$, 线性相关时,使等式 $k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{s} \boldsymbol{\alpha}_{s}=\mathbf{0}$

成立的常数 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k$, 是

(A) 某些全不为 0 的常数

(B) 任意一组不全为 0 的常数

(C) 唯-一组不全为 0 的常数

(D) 无穷多组特定的不全为 0 的常数

难度评级：

二、解析

由题可知，存在不全为零（可以有一部分等于零）的常数 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k$ 使得 $k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+k_{s} \boldsymbol{\alpha}_{s}=\mathbf{0}$, 因此，我们只要给 $k_{1}, k_{2}, \cdots, k_{s}$ 乘上任意一个数字 $a$，就可以得到另一组数字 $ak_{1}, ak_{2}, \cdots, ak_{s}$ 使得 $a k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1} + a k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots + a k_{s} \boldsymbol{\alpha}_{s}=\mathbf{0}$ 成立。

综上可知，D 选项正确。

---