数字的运算规律不能简单的套用到矩阵上

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n$ 阶可逆矩阵, 则以下运算正确的是哪个?

(A) $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B})=\boldsymbol{A}^{2}-\boldsymbol{B}^{2}$

(B) $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{-1}=\boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{B}^{-1}$

(C) $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})^{2}=\boldsymbol{A}^{2}+2 \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^{2}$

(D) $(A B)^{*}=B^{*} A^{*}$

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

A 选项:

$$
(A+B)(A-B)=
$$

$$
A^{2}-A B+B A-B^{2}
$$

C 选项:

$$
(A+B)(A+B)=A^{2}+A B+B A+B^{2}
$$

由于 $AB$ 和 $BA$ 不一定相等,因此,A, C 选项都是错的,例如:

$$
\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 2\end{array}\right]
$$

$$
{\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 2\end{array}\right]}
$$

B 选项:

首先,即便矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 都可逆,矩阵 $A+B$ 也不一定可逆,例如:

$$
A=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right], \ B=\left[\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{array}\right] \Rightarrow
$$

$$
A+B=\left[\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right]
$$

此外,即便矩阵 $A+B$ 可逆,则 $(A+B)^{-1}$ 与 $A^{-1}+B^{-1}$ 也不一定相等。

D 选项:

由于:

$$
A^{*}=|A| \cdot A^{-1}
$$

因此:

$$
(A B)^{*}=
$$

$$
|A B| \cdot(A B)^{-1}=|A||B| \cdot B^{-1} A^{-1}=
$$

$$
|A| \cdot B^{*} \cdot A^{-1}=B^{*} \cdot|A| \cdot A^{-1}=B^{*} A^{*}
$$

综上可知,D 选项正确。


荒原之梦考研数学思维导图
荒原之梦考研数学思维导图

高等数学箭头 - 荒原之梦

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。

线性代数箭头 - 荒原之梦

以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。

特别专题箭头 - 荒原之梦

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。

荒原之梦考研数学网 | 让考场上没有难做的数学题!

荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress