前言
在本文中，荒原之梦网从考试实战的角度出发，详细解析了考研数学二 1989 年的真题。
注意事项：
1. 按照原试卷结构，每页一类题，点击页码可以切换；
2. 蓝色部分为题干。
一、填空题 (本题满分 21 分, 每小题 3 分)
(1) $\lim \limits_{x \rightarrow 0} x \cot 2 x=$
$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} x \cos 2 x=\lim \limits_{x \rightarrow 0} x \cdot \frac{1}{\tan 2 x}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x}{2 x}=\frac{1}{2}
$$
(2) $\int_{0}^{\pi} t \sin t \mathrm{~d} t=$
$$
\int_{0}^{\pi} t \sin t \mathrm{~d} t=t \cdot 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin t \mathrm{~d} t=\left.t \cdot 2 \cdot(-\cos t)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}
$$
$$
-\left.2 t \cos t\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}=-(0-\pi)=\pi
$$
或者：
$$
\int_{0}^{\pi} t \sin t \mathrm{~d} t=-\int_{0}^{\pi} t \mathrm{~d} (\cos t)=
$$
$$
-\left[\left.t \cos t\right|_{0} ^{\pi}-\int_{0}^{\pi} \cos t \mathrm{~d} t\right]=
$$
$$
-\left[-\pi-\left.\sin t\right|_{0} ^{\pi}\right]=\pi
$$
(3) 曲线 $y=\int_{0}^{x}(t-1)(t-2) \mathrm{d} t$ 在点 $(0,0)$ 处的切线方程是
$$
y^{\prime}=(x-1)(x-2) \Rightarrow x=0 \Rightarrow k=y^{\prime}=2 \Rightarrow
$$
$$
y-0=2(x-0)=y=2 x
$$
(4) 设 $f(x)=x(x+1)(x+2) \cdots(x+n)$, 则 $f^{\prime}(0)=$
$$
g(x)=(x+1)(x+2) \cdots(x+n) \Rightarrow
$$
$$
f(x)=x g(x) \Rightarrow f^{\prime}(x)=g(x)+x g^{\prime}(x) \Rightarrow
$$
$$
f^{\prime}(0)=g(0) \Rightarrow g(0)=1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n \Rightarrow
$$
$$
f^{\prime}(0)=n !
$$
(5) 设 $f(x)$ 是连续函数, 且 $f(x)=x+2 \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t$, 则 $f(x)=$
$$
f(x)=x+2 \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{~d} t \Rightarrow A=\int_{0}^{1} f(t) \mathrm{~d} t \Rightarrow
$$
$$
f(x)=x+2 A \Rightarrow \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{~d} x=\int_{0}^{1} x \mathrm{~d} x+2 A \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x
$$
$$
A=\left.\frac{1}{2} x^{2}\right|_{0} ^{1}+2 A \Rightarrow-A=\frac{1}{2} \Rightarrow A=\frac{-1}{2} \Rightarrow
$$
$$
f(x)=x+2 \cdot\left(\frac{-1}{2}\right) \Rightarrow f(x)=x-1
$$
(6) 设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}a+b x^{2}, & x \leqslant 0, \\ \frac{\sin b x}{x}, & x>0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 则常数 $a$ 与 $b$ 应满足的关系是
$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(a+b x^{2}\right)=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\sin b x}{x} \Rightarrow
$$
$$
a=\frac{b x}{x} \Rightarrow a=b
$$
(7) 设 $\tan y=x+y$, 则 $\mathrm{d} y=$
$$
y(x) \Rightarrow
$$
$$
\tan y=x+y \Rightarrow \frac{1}{\cos ^{2} y} \cdot \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=1+\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}
$$
$$
\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}\left(\frac{1}{\cos ^{2} y}-1\right)=1 \Rightarrow
$$
$$
\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x} \cdot \frac{1-\cos ^{2} y}{\cos ^{2} y}=1 \Rightarrow
$$
$$
\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\cos ^{2} y}{\sin ^{2} y} \Rightarrow
$$
$$
\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{\cos ^{2} y}{\sin ^{2} y} \mathrm{~d} x=\cos ^{2} t \mathrm{~d} x
$$