要找渐近线先找间断点

一、题目题目 - 荒原之梦

求解曲线 $y=\sqrt{4 x^{2}+x} \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)$ 的全部渐近线。

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

求解渐近线的步骤:
1. 先找垂直渐近线(在间断点处);
2. 再找水平渐近线(当 $x \rightarrow \infty$ 时求 $y$);
3. 最后找倾斜渐近线(当 $x \rightarrow \infty$ 时求 $\frac{y}{x}$)。

一、垂直渐近线

先寻找间断点:

$$
\left\{\begin{array}{l}2+\frac{1}{x}>0 \\ x \neq 0 \\ 4 x^{2}+x \geqslant 0\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x<\frac{-1}{2} \\ x \neq 0 \\ x \leqslant \frac{-1}{4} \\ x \geqslant 0\end{array} \Rightarrow\right.\right. \left\{\begin{array}{l}x<\frac{-1}{2} \\ x>0\end{array}\right.
$$

综上可知,间断点为:

$$
\left\{\begin{array}{l}x=\frac{-1}{2} \\ x=0\end{array}\right.
$$

于是,当:

$$
x \rightarrow\left(\frac{-1}{2}\right)^{-}
$$

有:

$$
y=\sqrt{4 x^{2}+x} \cdot \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)=\sqrt{4 x^{2}+x} \cdot \ln \left(\frac{2 x+1}{x}\right) \Rightarrow
$$

$$
\left(1 – \frac{1}{2} \right) \cdot \ln \left(\frac{0}{\frac{-1}{2}}\right) = \frac{1}{2} \cdot \infty=\infty
$$

又,当:

$$
x \rightarrow 0^{+}
$$

于是:

$$
y=\sqrt{4 x^{2}+x} \cdot \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)=
$$

$$
\sqrt{4 x^{2}+x} \cdot \ln \left(\frac{2 x+1}{x}\right)=
$$

$$
\sqrt{4 x^{2}+x} \cdot \ln (2 x+1)-\sqrt{4 x^{2}+x} \cdot \ln x=
$$

$$
0 \cdot \ln (1)-\sqrt{4 x^{2}+x} \cdot \ln x=
$$

$$
0-\sqrt{4 x^{2}+x} \cdot \ln x=
$$

$$
0-\sqrt{4 x+1} \cdot \sqrt{x} \cdot \ln x =
$$

又:

$$
\sqrt{x} \cdot \ln x=\frac{\ln x}{x^{-\frac{1}{2}}} \Rightarrow
$$

洛必达运算:

$$
\frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{3}{2}}} = \frac{x^{-1}}{-\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}}} \Rightarrow-2 \cdot x^{\left(-1+\frac{3}{2}\right)}=-2 x^{\frac{1}{2}}=0
$$

因此:

$$
0-\sqrt{4 x+1} \cdot \sqrt{x} \cdot \ln x=0-0=0
$$

于是可知,$x=\frac{-1}{2}$ 是垂直渐近线,而 $x = 0$ 不是垂直渐近线。

二、水平渐近线

当 $x \rightarrow \infty$, 有:

$$
y=\sqrt{4 x^{2}+x} \cdot \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)=
$$

$$
\sqrt{4 x^{2}+x} \cdot \ln 2=2|x| \cdot \ln 2=\infty
$$

于是可知,不存在水平渐近线。

三、倾斜渐近线

当 $x \rightarrow \pm \infty$, 有:

$$
\frac{y}{x}=\frac{\sqrt{4 x^{2}+x} \cdot \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)}{x}=
$$

$$
\frac{|x| \sqrt{4+\frac{1}{x}} \cdot \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)}{x}=\frac{2|x| \cdot \ln 2}{x} = \pm 2 \ln 2=k
$$

又:

$$
y=k x+b \Rightarrow b=y-k x=y-( \pm 2 \ln 2) x
$$

于是,当 $x \rightarrow+\infty$ 时:

$$
y-(2 \ln 2) x=\sqrt{4 x^{2}+x} \cdot \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)-(2 \ln 2) x =
$$

$$
x \sqrt{4+\frac{1}{x}} \cdot \ln \left(2+\frac{1}{3}\right)-(2 \ln 2) x =
$$

$$
\frac{\sqrt{4+\frac{1}{x}} \cdot \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)-(2 \ln 2)}{\frac{1}{x}} \Rightarrow
$$

令:

$$
t=\frac{1}{x}
$$

则 $t \rightarrow 0^{+}$:

$$
\frac{\sqrt{4+t} \cdot \ln (2+t)-2 \ln 2}{t} \Rightarrow
$$

洛必达运算:

$$
\frac{\frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{4+t}} \ln (2+t)+\sqrt{4+t} \frac{1}{2+t}}{1} = \frac{1}{4} \ln 2+1
$$

当 $x \rightarrow -\infty$ 时:

$$
y-(-2 \ln 2) x=y+2 \ln 2 \Rightarrow
$$

注意:不要根据前面 $x \rightarrow + \infty$ 的计算结果就认为应该有 $y+2 \ln 2$ $=$ $\frac{\sqrt{4+t} \cdot \ln (2+t)+2 \ln 2}{t}$, 因为开根号可能需要加绝对值,因此,一定要完整的进行一次演算。

$$
\sqrt{4 x^{2}+x} \cdot \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)+(2 \ln 2) x \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{orangered}{ – x } \sqrt{4+\frac{1}{x}} \cdot \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)+(2 \ln 2) x \Rightarrow
$$

$$
-x\left[\sqrt{4+\frac{1}{x}} \cdot \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)-2 \ln 2\right] \Rightarrow
$$

$$
-\left[\sqrt{4+\frac{1}{x}} \cdot \ln \left(2+\frac{1}{x}\right)-2 \ln 2\right] \Rightarrow
$$

令:

$$
t=\frac{1}{x} \Rightarrow t \rightarrow 0^{-} \Rightarrow
$$

则:

$$
\frac{-[\sqrt{4+t} \cdot \ln (2+t)-2 \ln 2]}{t}=
-\left(\frac{1}{4} \ln 2+1\right)
$$

综上可知,全部渐近线为:

$$
x=\frac{-1}{2}
$$

$$
y=(2 \ln 2) x+1+\frac{1}{4} \ln 2 \quad (x \rightarrow+\infty)
$$

$$
y=-(2 \ln 2) x-1-\frac{1}{4} \ln 2 \quad (x \rightarrow-\infty)
$$


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