一定要分清拐点和极值点:极值点是一阶导等于零的点,拐点是二阶导等于零的点

一、题目题目 - 荒原之梦

已知,$(1,3)$ 是曲线 $y=x^{3}+a x^{2}+b x+14$ 的拐点,则 $a=?$, $b=?$

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

错误的解法(误认为拐点是一阶导等于零的点)

$$
y=x^{3}+a x^{2}+b x+14 \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime}=3 x^{2}+2 a x+b \Rightarrow
$$

$$
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime}(1)=0 \Rightarrow 3+2 a+b=0 \\ y(1)=3 \Rightarrow 1+a+b+14=3 \end{array}\right.
\Rightarrow
$$

$$
\left\{\begin{array}{l}3+2 a+b=0 \\ a+b=3-15 \end{array}\right. \quad \Rightarrow
$$

$$
\left\{\begin{array}{l}3+2 a+b=0 \\ a=-b-12\end{array}\right. \Rightarrow
$$

$$
3-2(b+12)+b=0 \Rightarrow
$$

$$
3-2 b-24+b=0 \Rightarrow b=-21 \Rightarrow
$$

$$
a=9 \Rightarrow
$$

$$
\left\{\begin{array}{l}a=9 \\ b=-21\end{array}\right.
$$

正确的解法

$$
y=x^{3}+a x^{2}+b x+14 \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime}=3 x^{2}+2 a x+b \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime \prime}=6 x+2 a \Rightarrow
$$

$$
y^{\prime \prime}(1)=0 \Rightarrow 6+2 a=0 \Rightarrow \textcolor{springgreen}{ a=-3 }
$$

$$
y=x^{3}-3 x^{2}+b x+14 \Rightarrow
$$

$$
y(1)=3 \Rightarrow \textcolor{orangered}{ 1-3+b+14=3 } \Rightarrow
$$

$$
b+15 – 3=3 \Rightarrow
$$

$$
b=3-12 \Rightarrow \textcolor{springgreen}{ b = -9 }
$$

注意:
$1 \textcolor{orangered}{ -3 } +b+14$ $=$ $\textcolor{orangered}{ 3 }$ $\nRightarrow$ $1 + 0+b+14=0$


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