无论是一元还是二元函数，只要连续一定可积：连续函数的定积分是一个定值

一、题目

已知，$f(x, y)$ 为连续函数，且 $f(x, y)$ $=$ $\frac{1}{\pi} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \iint_{x^{2}+y^{2} \leqslant 1} f(x, y) \mathrm{d} \sigma+y^{2}$, 则 $f(x, y)=?$

难度评级：

二、解析

令：

$$
\iint_{x^{2}+y^{2} \leq 1} f(x, y) \mathrm{~ d} \sigma=A
$$

$$
D=x^{2}+y^{2} \leq 1
$$

则：

$$
f(x, y)=\frac{A}{\pi} \sqrt{x^{2}+y^{2}}+y^{2} \tag{1}
$$

对 (1) 式两边同时积分：

$$
\iint_{D} f(x, y) d v=\frac{A}{\pi} \iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~ d} \sigma+\iint_{D} y^{2} \mathrm{~ d} \sigma \Rightarrow
$$

$$
A=\frac{A}{\pi} \iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~ d} \theta+\iint_{D} y^{2} \mathrm{~ d} \sigma \tag{2}
$$

其中：

$$
\iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} d v=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~ d} \theta \int_{0}^{1} r \cdot \textcolor{orangered}{ r } \mathrm{~ d} r=
$$

$$
\frac{1}{3} \cdot 2 \pi=\frac{2 \pi}{3}
$$

且：

$$
\iint_{D} y^{2} \mathrm{~ d} \theta=\int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~ d} \theta \int_{0}^{1} r^{2} \sin ^{2} \theta \cdot \textcolor{orangered}{ r } \mathrm{~ d} r=
$$

$$
\int_{0}^{2 \pi} \sin ^{2} \theta \mathrm{~ d} \theta \int_{0}^{1} r^{3} \mathrm{~ d} r=
$$

$$
\frac{1}{4} \cdot 4 \cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2} \theta \mathrm{~ d} \theta=\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}
$$

于是，(2) 式可转化为：

$$
A=\frac{A}{\pi} \cdot \frac{2 \pi}{3}+\frac{\pi}{4} \Rightarrow
$$

$$
A=\frac{2 A}{3}+\frac{\pi}{4} \Rightarrow \frac{A}{3}=\frac{\pi}{4} \Rightarrow
$$

$$
A=\frac{3 \pi}{4}
$$

进而，由 (1) 式可得：

$$
f(x, y)=\frac{3}{4} \sqrt{x^{2}+y^{2}}+y^{2}
$$

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