一、题目
已知，$g(x)$ 是可微函数 $y=f(x)$ 的反函数，且 $f(1)=0$, $\int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x=1012$, 则 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t = ?$
Note
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[01] .《反函数的性质汇总》
难度评级：
二、解析 
$$
\int_{0}^{1} \mathrm{~ d} x \int_{0}^{f(x)} g(t) \mathrm{~ d} t=
$$
$$
\int_{0}^{1}\left[\int_{0}^{f(x)} g(t) \mathrm{~ d} t\right] \mathrm{~ d} x=
$$
$$
\left.x \int_{0}^{f(x)} g(t) \mathrm{~ d} t\right|_{0} ^{1}-\int_{0}^{1} x f^{\prime}(x) \cdot \textcolor{orangered}{g[f(x)]} \mathrm{~ d} x=
$$
Tips:
反函数与其自身反函数的复合函数一定等于 $x$, 即 $g[f(x)] = x$.
$$
0-\int_{0}^{1} x f^{\prime}(x) \cdot \textcolor{orangered}{x} \mathrm{~ d} x=
$$
$$
-\int_{0}^{1} x^{2} f^{\prime}(x)=
$$
$$
-\int_{0}^{1} x^{2} \mathrm{~ d} [f(x)]=
$$
$$
-\left[\left.x f(x)\right|_{0} ^{1}-2 \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{~ d} x\right]=
$$
$$
-[0-2 \times 1012]=2024
$$
>>第 02 题见下页<<