反函数与其自身反函数的复合函数一定等于 x

一、题目

已知，$g(x)$ 是可微函数 $y=f(x)$ 的反函数，且 $f(1)=0$, ${\int }_0^{1}xf(x)\mathrm{d}x=1012$, 则 ${\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_0^{f(x)}g(t)\mathrm{d}t=?$

Note

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二、解析

$${\int }_0^1\mathrm{d}x{\int }_0^{f(x)}g(t)\mathrm{d}t=$$

$${\int }_0^1[{\int }_0^{f(x)}g(t)\mathrm{d}t]\mathrm{d}x=$$

$${x{\int }_0^{f(x)}g(t)\mathrm{d}t|}_0^1-{\int }_0^{1}x{f}^{\prime }(x)\cdot g[f(x)]\mathrm{d}x=$$

Tips:

反函数与其自身反函数的复合函数一定等于 $x$, 即 $g[f(x)]=x$.

$$0-{\int }_0^{1}x{f}^{\prime }(x)\cdot x\mathrm{d}x=$$

$$-{\int }_0^1{x}^2{f}^{\prime }(x)=$$

$$-{\int }_0^1{x}^2\mathrm{d}[f(x)]=$$

$$-[{xf(x)|}_0^1-2{\int }_0^{1}xf(x)\mathrm{d}x]=$$

$$-[0-2\times 1012]=2024$$

>>第 02 题见下页<<