用公式法求解隐函数的偏导数时要对所有变量“一视同仁”：公式法求偏导时没有谁是谁的函数，谁是谁的自变量之别

一、题目

已知，函数 $z=z(x, y)$ 由 $\mathrm{e}^{z}+x z=2 x-y$ 确定，则 $\left.\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}\right|_{(1,1)}=?$

难度评级：

二、解析

解法一：用隐函数的基本求导规则计算

$$
e^{z}+x z=2 x-y \tag{1}
$$

$$
x=1, \ y=1 \Rightarrow e^{z}+z=1 \Rightarrow z=0
$$

又由 (1) 式可得：

$$
\frac{\partial z}{\partial x} \cdot e^{z}+z+x \cdot \frac{\partial z}{\partial x}=2 \tag{2}
$$

$$
x=1, \ y=1, \ z=0 \Rightarrow 2 \frac{\partial z}{\partial x}=2 \Rightarrow \frac{\partial z}{\partial x}=1
$$

又由 (2) 式可得：

$$
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} e^{z}+\frac{\partial z}{\partial x} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} \cdot e^{z}+\frac{\partial z}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial x}+x \cdot \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=0 \Rightarrow
$$

$$
x=1, \ y=1, \ z=0, \frac{\partial z}{\partial x}=1 \Rightarrow
$$

$$
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+1+2+\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=0 \Rightarrow
$$

$$
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=\frac{-3}{2}
$$

解法二：用隐函数的求导公式计算

已知，三个量的隐函数的偏导数求解公式（在代入公式使用的时候，将所有三个变量都视作同等地位即可，不要认为 $z$ 是 $x$ 和 $y$ 的函数）：

$$
F(x, y, z)=0, \quad F_{z}^{\prime} \neq 0 \Rightarrow
$$

$$
\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_{x}^{\prime}(x, y, z)}{F_{z}^{\prime}(x, y, z)}, \quad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_{y}^{\prime}(x, y, z)}{F_{z}^{\prime}(x, y, z) }
$$

计算步骤如下：

$$
e^{z}+x z=2 x y \Rightarrow
$$

$$
e^{z}+x z-2 x+y \tag{1}
$$

(1) 式对 $x$ 求偏导得：$z-2$

(1) 式对 $z$ 求偏导得：$e^{z}+x$

于是：

$$
\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{x \text { 偏导 }}{z \text { 偏导 }}=-\frac{z-2}{e^{z}+x} \tag{2}
$$

将 $x=1, y=1$ 代入 (1) 式，得：

$$
z=0
$$

将 $x=1, y=1, z=0$ 代入 (2) 式，得：

$$
\frac{\partial z}{\partial x}=1
$$

在 (2) 式中继续对 $x$ 求偏导，得：

$$
\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)=-\frac{\frac{\partial z}{\partial x}\left(e^{2}+x\right)-(z-2) \cdot\left(e^{2} \cdot \frac{\partial z}{\partial x}+1\right)}{\left(e^{2}+x\right)^{2}} \tag{3}
$$

$$
x=1, y=1, z=0, \frac{\partial z}{\partial x}=1 \Rightarrow
$$

$$
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=-\frac{1 \times(1+1)-(-2)(1 \times 1+1)}{(1+1)^{2}} \Rightarrow
$$

$$
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=-\frac{2+2 \times 2}{4}=-\frac{6}{4}=-\frac{3}{2}
$$

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