副对角线上有分块矩阵的行列式的计算公式怎么记？将一个“块”看做一个数字就可以啦

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}$ 为二阶方阵, $\boldsymbol{B}$ 为三阶方阵，且 $|\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{B}|=2$, 则 $\left|\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A}^{*} \\ -2 \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right|=?$

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二、解析

为了记住也为了搞清楚像本题这样的副对角线上含有分块矩阵的行列式的计算公式，我们可以将一个数字看做一个 $1$ 阶行列式组成的块，于是就有：

$$
\left|\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 2 & 0\end{array}\right|=-2 \times 1 = (-1)^{\textcolor{red}{1 \times 1}} \cdot 2 \times 1
$$

于是：

$$
\left|\begin{array}{cc}O & A^{*} \\ -2 B & O\end{array}\right|=
$$

$$
(-1)^{2 \times 3}\left|A^{*}\right| \cdot|-2 B|=
$$

$$
|A|^{2-1} \cdot(-2)^{3}|B|=-8|A||B|=
$$

$$
-8 \times 2 \times 2=-32
$$

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