矩阵与其逆矩阵的特征向量相同，特征值互为倒数

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}=(a, 1,1)^{\mathrm{\top}}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 2 \\ 2 & a & -2 \\ 2 & -2 & -1\end{array}\right]$ 的逆矩阵的特征向量，那么 $\boldsymbol{\alpha}$ 在矩阵 $\boldsymbol{A}$ 中对应的特征值是多少？

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二、解析

本题的一个解题思路是先根据题目求解出逆矩阵 $A^{-1}$, 但是这样会导致计算量增加——可以先根据特征值、特征向量的相关公式进行转换后，尽可能利用题目直接给出的已知条件求解：

$$
A^{-1} \alpha=\lambda \alpha \Rightarrow A A^{-1} \alpha=A \lambda \alpha \Rightarrow \alpha=\lambda A \alpha \Rightarrow
$$

$$
\left(\begin{array}{l}a \\ 1 \\ 1\end{array}\right)=r\left[\begin{array}{ccc}-1 & 2 & 2 \\ 2 & a & -2 \\ 2 & -2 & -1\end{array}\right]\left(\begin{array}{l}a \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \Rightarrow
$$

$$
\left(\begin{array}{l}a \\ 1 \\ 1\end{array}\right)=r\left(\begin{array}{c}-a+4 \\ 3 a-2 \\ 2 a-3\end{array}\right) \Rightarrow
$$

$$
\left\{\begin{array}{cc}-a \lambda+4 \lambda=a & (1) \\ 3 a \lambda-2 \lambda=1 & (2) \\ 2 a \lambda-3 \lambda=1 & (3) \end{array}\right.
$$

根据上式，可知：

$$
(2),(3) \Rightarrow \lambda \neq 0
$$

$$
(2)-(3) \Rightarrow \lambda(a+1)=0 \Rightarrow a+1=0 \Rightarrow a=-1
$$

$$
a=-1 \Rightarrow(1) \Rightarrow \lambda+4 \lambda=-1 \Rightarrow 5 \lambda=-1 \Rightarrow \lambda=\frac{-1}{5} \Rightarrow
$$

$$
\frac{1}{\lambda}=-5
$$