向量个数大于向量维数的向量组一定线性相关：四个三维列向量一定线性相关

一、题目

下面的向量组中，线性相关的和线性无关的向量组分别是哪些？

(i) $(1,2,3)^{\mathrm{\top}}$, $(3,-1,5)^{\mathrm{\top}}$, $(0,4,-2)^{\mathrm{\top}}$, $(1,3,0)^{\mathrm{\top}}$

(ii) $(a, 1, b, 0,0)^{\mathrm{\top}}$, $(c, 0, d, 2,0)^{\mathrm{\top}}$, $(e, 0, f, 0,3)^{\mathrm{\top}}$

(iii) $(a, 1,2,3)^{\mathrm{\top}}$, $(b, 1,2,3)^{\mathrm{\top}}$, $(c, 3,4,5)^{\mathrm{\top}}$, $(d, 0,0,0)^{\mathrm{\top}}$

(iiii) $(1,0,3,1)^{\mathrm{\top}}$, $(-1,3,0,-2)^{\mathrm{\top}}$, $(2,1,7,2)^{\mathrm{\top}}$, $(4,2,14,5)^{\mathrm{\top}}$

难度评级：

二、解析

第 (i) 个向量组：线性相关

向量个数大于向量维数的向量组一定线性相关，因此该向量组一定线性相关——直接进行初等变换也可以发现能消出来全零的列。

第 (ii) 个向量组：线性无关

该向量组中存在 $\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3
\end{bmatrix}$ 这个线性无关的向量组，那么，再往该向量组种添加几个元素会进一步扰乱它的无关性，因此，第 (ii) 个向量组是线性无关的。

第 (iii) 个向量组：线性相关

$(a, 1,2,3)^{\mathrm{\top}}$ $-$ $(b, 1,2,3)^{\mathrm{\top}}$ $=$ $(a-b, 0, 0, 0)$ 与 $(d, 0, 0, 0)$ 成比例可以消去，因此，该向量组线性相关。

第 (iiii) 个向量组：线性相关

由题可得：

$$
\left[\begin{array}{cccc}1 & -1 & 2 & 4 \\ 0 & 3 & 1 & 2 \\ 3 & 0 & 7 & 14 \\ 1 & -2 & 2 & 5\end{array}\right] \Rightarrow\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1\end{array}\right]
$$

因此，该向量组线性相关。

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