你能看出这个矩阵里面有一个不等于零的二阶子式吗？

一、题目

已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 3 & a & 2 \\ a & 4 & a\end{array}\right]$, 则 $a=-2$ 是 $r(\boldsymbol{A})=2$ 的充分必要条件吗？

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二、解析

从 $\begin{bmatrix}
1 & 2 & 0 \\ 3 & a & 2 \\ a & 4 & a
\end{bmatrix}$ 中我们可以得到一个如下子式：

$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
3 & 2
\end{bmatrix}
$$

且：

$$
\begin{vmatrix}
1 & 0 \\
3 & 2
\end{vmatrix}
=2 \neq 0
$$

因此：

$$
r(A) = 2 < 3 \Rightarrow
$$

$$
|A| = 0 \Rightarrow
$$

$$
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 0 \\ 3 & a & 2 \\ a & 4 & a
\end{vmatrix}
= 0 \Rightarrow
$$

$$
a^{2} + 4a – 6a – 8 =0 \Rightarrow
$$

$$
a^{2} – 2a – 8 = 0 \Rightarrow
$$

Tips:

下面的计算步骤会用到十字相乘法，相关用法可以参考《用“十字相乘法”对二次函数进行分解降幂》

$$
(a + 2) (a – 4) = 0 \Rightarrow
$$

$$
\begin{cases}
a = -2 ; \\
a = 4.
\end{cases}
$$

因此，由 $a = -2$ 能推出 $r(A) = 2$, 但是，由 $r(A) = 2$ 除了能推出 $a = -2$, 还能推出 $a = 4$, 根据“小充分大必要，前充分后必要”的原则，可知：

$a=-2$ 是 $r(\boldsymbol{A})=2$ 的充分但非必要条件。

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