不趋于零的怎么求？凑成零！

一、题目

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x-x^{x}}{1-x+\ln x}=?
$$

难度评级：

二、解析

解法 1：凑成趋于零的极限后用等价无穷小的性质

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x-x^{x}}{1-x+\ln x}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x\left(1-x^{x-1}\right)}{1-x+\ln x}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x\left[1-e^{(x-1) \ln [x-1)+1}]\right.}{-(x-1)+\ln [(x-1)+1]}=
$$

TIps：
在这里，$\ln x$ 既可以凑成 $\ln[(x – 1) + 1]$ 也可以凑成 $\ln [(x + 1) – 1]$, 但是，凑成 $\ln [(x + 1) – 1]$ 是没办法解题的，因此只有 $(x – 1) \rightarrow 0$.

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{1 \cdot(-1) \cdot(x-1) \ln [(x-1)+1]}{\frac{-1}{2}(x-1)^{2}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)^{2}}{\frac{1}{2}(x-1)^{2}}=2.
$$

解法 2：直接洛必达，一“洛”到底

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x-x^{x}}{1-x+\ln x}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x-e^{x \ln x}}{1-x+\ln x}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{1-e^{x \ln x}(\ln x+1)}{-1+\frac{1}{x}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{-\left[e^{x \ln x}(\ln x+1)^{2}+e^{x \ln x} \cdot \frac{1}{x}\right]}{\frac{-1}{x^{2}}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{-e^{x \ln x}\left[(\ln x+1)^{2}+\frac{1}{x}\right]}{\frac{-1}{x^{2}}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{-1\left[(0+1)^{2}+1\right]}{\frac{-1}{1}}=2.
$$

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