由已知求未知：先把未知式子的形式往已知式子的形式上凑

一、题目

已知 $g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 并满足 $g\left(\frac{a+b}{2}+x\right)$ $=$ $-g\left(\frac{a+b}{2}-x\right)$ $\left(\forall x \in\left[0, \frac{b-a}{2}\right]\right)$, $\int_{0}^{\frac{b – a}{2}} g\left(\frac{a+b}{2}+t\right) \mathrm{d} t$ $=$ $A$, 则 $\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ $=$ $?$

难度评级：

二、解析

先把要求解的未知式 $\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x$ 往已知式 $\int_{0}^{\frac{b – a}{2}} g\left(\frac{a+b}{2}+t\right) \mathrm{d} t$ $=$ $A$ 凑，于是：

$$
x=\frac{a+b}{2}+t \Rightarrow x \in(a, b) \Rightarrow
$$

$$
\frac{a+b}{2}+t \in(a, b) \Rightarrow t \in\left(\frac{a-b}{2}, \frac{b-a}{2}\right) \Rightarrow
$$

$$
t \in \left(-\frac{b-a}{2}, \frac{b-a}{2}\right) \Rightarrow
$$

$$
\int_{a}^{b} g(x) d x=\int_{-\frac{b-a}{2}}^{\frac{b-a}{2}} g\left(\frac{a+b}{2}+t\right) \mathrm{~ d} t \Rightarrow
$$

$$
\int_{-\frac{b-a}{2}}^{0} g\left(\frac{a+b}{2}+t\right) \mathrm{~ d} t+\int_{0}^{\frac{b-a}{2}} g\left(\frac{a+b}{2}+t\right) \mathrm{~ d} t=
$$

$$
\int_{-\frac{b-a}{2}}^{0} g\left(\frac{a+b}{2}+t\right) \mathrm{~ d} t+A \Rightarrow
$$

$$
t=-s \Rightarrow s \in\left(\frac{b-a}{2}, 0\right), \mathrm{~ d} t=-\mathrm{~ d} s \Rightarrow
$$

$$
(-1) \int_{\frac{b-a}{2}}^{0} g\left(\frac{a+b}{2}-s\right) \mathrm{~ d} s+A=
$$

$$
\int_{0}^{\frac{b-a}{2}} g\left(\frac{a+b}{2}-s\right) \mathrm{~ d} s+A \Rightarrow
$$

$$
(-1) \int_{0}^{\frac{b-a}{2}} g\left(\frac{a+b}{2}+s\right) \mathrm{~ d} s+A=-A+A=0.
$$

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