一个夸张的积分上限：肯定有规律可循

一、题目

$$
I=\int_{0}^{100 \pi} \sqrt{1+\cos 2 x} \mathrm{~d} x=?
$$

难度评级：

二、解析

已知：

$$
\cos 2 \alpha=2 \cos ^{2} \alpha-1 \Rightarrow
$$

$$
1+\cos 2 x=2 \cos ^{2} x.
$$

于是：

$$
I=\int_{0}^{100 \pi} \sqrt{1+\cos 2 x} d x \Rightarrow
$$

$$
I=\int_{0}^{100 \pi} \sqrt{2}|\cos x| d x \Rightarrow
$$

由于 $\cos x$ 的周期为 $\pi$, 所以：

$$
I=100 \sqrt{2} \int_{0}^{\pi}|\cos x| d x \Rightarrow
$$

$$
I=100 \sqrt{2}\left[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x d x-\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \cos x d x\right] \Rightarrow
$$

$$
I=100 \sqrt{2}[(1-0)-(0-1)] \Rightarrow
$$

$$
I=100 \sqrt{2} \times 2=200.
$$

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